Theorem cnvun 3461

Description: The converse of a union is the union of converses. Theorem 16 of [Suppes] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
cnvun	|- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Proof of Theorem cnvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3441	. 2 |- Rel `'(A u. B)
2		relun 3267	. . 3 |- (Rel (`'A u. `'B) <-> (Rel `'A /\ Rel `'B))
3		relcnv 3441	. . 3 |- Rel `'A
4		relcnv 3441	. . 3 |- Rel `'B
5	2, 3, 4	mpbir2an 732	. 2 |- Rel (`'A u. `'B)
6		elun 2176	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
7		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
8		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
9	7, 8	opelcnv 3304	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'A <-> <.y, x>. e. A)
10	7, 8	opelcnv 3304	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'B <-> <.y, x>. e. B)
11	9, 10	orbi12i 257	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
12	6, 11	bitr4 176	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
13	7, 8	opelcnv 3304	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.y, x>. e. (A u. B))
14		elun 2176	. . 3 |- (<.x, y>. e. (`'A u. `'B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
15	12, 13, 14	3bitr4 183	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.x, y>. e. (`'A u. `'B))
16	1, 5, 15	eqrelriv 3257	1 |- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   u. cun 2048  <.cop 2415  `'ccnv 3175  Rel wrel 3181

This theorem is referenced by:  rnun 3463  f1oun 3712  sbthlem8 4460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192

Copyright terms: Public domain