Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvunop Unicode version

Theorem cnvunop 22498
 Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvunop

Proof of Theorem cnvunop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22496 . . 3
2 f1ocnv 5485 . . . 4
3 f1ofo 5479 . . . 4
42, 3syl 15 . . 3
51, 4syl 15 . 2
6 simpl 443 . . . . 5
7 fof 5451 . . . . . . . 8
85, 7syl 15 . . . . . . 7
9 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
108, 9sylan 457 . . . . . 6
1110adantrr 697 . . . . 5
12 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
138, 12sylan 457 . . . . . 6
1413adantrl 696 . . . . 5
15 unop 22495 . . . . 5
166, 11, 14, 15syl3anc 1182 . . . 4
17 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . 7
1817adantrr 697 . . . . . 6
19 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . 7
2019adantrl 696 . . . . . 6
2118, 20oveq12d 5876 . . . . 5
221, 21sylan 457 . . . 4
2316, 22eqtr3d 2317 . . 3
2423ralrimivva 2635 . 2
25 elunop 22452 . 2
265, 24, 25sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  ccnv 4688  wf 5251  wfo 5253  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  chil 21499   csp 21502  cuo 21529 This theorem is referenced by:  unoplin  22500  unopadj2  22518 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-hvsub 21551  df-unop 22423
 Copyright terms: Public domain W3C validator