Theorem cnvxp 3464

Description: The converse of a cross product. Exercise 11 of [Suppes] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
cnvxp	|- `'(A X. B) = (B X. A)

Proof of Theorem cnvxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3435	. 2 |- Rel `'(A X. B)
2		relxp 3255	. 2 |- Rel (B X. A)
3		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
4		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
5	3, 4	opelcnv 3298	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.y, x>. e. (A X. B))
6		ancom 435	. . . 4 |- ((y e. A /\ x e. B) <-> (x e. B /\ y e. A))
7	3	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> (y e. A /\ x e. B))
8	4	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. A) <-> (x e. B /\ y e. A))
9	6, 7, 8	3bitr4 183	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
10	5, 9	bitr 173	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
11	1, 2, 10	eqrelriv 3251	1 |- `'(A X. B) = (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  `'ccnv 3169

This theorem is referenced by:  xp0 3465  rnxp 3472  dminxp 3483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain