Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coapm Structured version   Unicode version

Theorem coapm 14216
 Description: Composition of arrows is a partial binary operation on arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coapm.o compa
coapm.a Nat
Assertion
Ref Expression
coapm

Proof of Theorem coapm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coapm.o . . . . . 6 compa
2 coapm.a . . . . . 6 Nat
3 eqid 2435 . . . . . 6 comp comp
41, 2, 3coafval 14209 . . . . 5 coda coda compcoda
54mpt2fun 6164 . . . 4
6 funfn 5474 . . . 4
75, 6mpbi 200 . . 3
81, 2dmcoass 14211 . . . . . . . . 9
98sseli 3336 . . . . . . . 8
10 1st2nd2 6378 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
1211fveq2d 5724 . . . . . 6
13 df-ov 6076 . . . . . 6
1412, 13syl6eqr 2485 . . . . 5
15 eqid 2435 . . . . . . 7 Homa Homa
162, 15homarw 14191 . . . . . 6 Homacoda
17 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
1811, 17eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12
19 df-br 4205 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
211, 2eldmcoa 14210 . . . . . . . . . . 11 coda
2220, 21sylib 189 . . . . . . . . . 10 coda
2322simp1d 969 . . . . . . . . 9
242, 15arwhoma 14190 . . . . . . . . 9 Homacoda
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8 Homacoda
2622simp3d 971 . . . . . . . . 9 coda
2726oveq2d 6089 . . . . . . . 8 Homacoda Homa
2825, 27eleqtrd 2511 . . . . . . 7 Homa
2922simp2d 970 . . . . . . . 8
302, 15arwhoma 14190 . . . . . . . 8 Homacoda
3129, 30syl 16 . . . . . . 7 Homacoda
321, 15, 28, 31coahom 14215 . . . . . 6 Homacoda
3316, 32sseldi 3338 . . . . 5
3414, 33eqeltrd 2509 . . . 4
3534rgen 2763 . . 3
36 ffnfv 5886 . . 3
377, 35, 36mpbir2an 887 . 2
38 fvex 5734 . . . 4 Nat
392, 38eqeltri 2505 . . 3
4039, 39xpex 4982 . . 3
4139, 40elpm2 7037 . 2
4237, 8, 41mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  cop 3809  cotp 3810   class class class wbr 4204   cxp 4868   cdm 4870   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340   cpm 7011  compcco 13531  cdoma 14165  codaccoda 14166  Natcarw 14167  Homachoma 14168  compaccoa 14199 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-pm 7013  df-cat 13883  df-doma 14169  df-coda 14170  df-homa 14171  df-arw 14172  df-coa 14201
 Copyright terms: Public domain W3C validator