MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  codir Unicode version

Theorem codir 5063
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, R, y, z

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 4719 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )
3 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 brcodir 5062 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
63, 4, 5mp2an 653 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
72, 6bitr3i 242 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R )  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
81, 7imbi12i 316 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
982albii 1554 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
10 relxp 4794 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
11 ssrel 4776 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) ) ) )
1210, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( `' R  o.  R ) ) )
13 r2al 2580 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z ( x R z  /\  y R z )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
149, 12, 133bitr4i 268 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    o. ccom 4693   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  dirge  14359  dfdir2  25291  filnetlem3  26329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698
  Copyright terms: Public domain W3C validator