MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Unicode version

Theorem coe0 19637
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0  |-  (coeff ` 
0 p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . . . 5  |-  0  e.  CC
21a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  0  e.  CC )
3 ssid 3197 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
4 ply0 19590 . . . . 5  |-  ( CC  C_  CC  ->  0 p  e.  (Poly `  CC )
)
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  0 p  e.  (Poly `  CC )
6 coemulc 19636 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0 p  e.  (Poly `  CC ) )  -> 
(coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) ) )
72, 5, 6sylancl 643 . . 3  |-  (  T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) ) )
8 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
98a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  _V )
10 plyf 19580 . . . . . . 7  |-  ( 0 p  e.  (Poly `  CC )  ->  0 p : CC --> CC )
115, 10mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  0 p : CC --> CC )
12 mul02 8990 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
1312adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
149, 11, 2, 2, 13caofid2 6108 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
15 df-0p 19025 . . . . 5  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
1614, 15syl6eqr 2333 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p )  =  0 p )
1716fveq2d 5529 . . 3  |-  (  T. 
->  (coeff `  ( ( CC  X.  { 0 } )  o F  x.  0 p ) )  =  (coeff `  0 p
) )
18 nn0ex 9971 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
1918a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  NN0  e.  _V )
20 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (coeff ` 
0 p )  =  (coeff `  0 p
)
2120coef3 19614 . . . . 5  |-  ( 0 p  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff ` 
0 p ) : NN0 --> CC )
225, 21mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  (coeff `  0 p
) : NN0 --> CC )
2319, 22, 2, 2, 13caofid2 6108 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( NN0  X.  { 0 } )  o F  x.  (coeff `  0 p ) )  =  ( NN0  X.  { 0 } ) )
247, 17, 233eqtr3d 2323 . 2  |-  (  T. 
->  (coeff `  0 p
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } ) )
2524trud 1314 1  |-  (coeff ` 
0 p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   0 pc0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568
This theorem is referenced by:  dgreq0  19646  dgrlt  19647  plymul0or  19661  plydivlem4  19676  mncn0  27344  aaitgo  27367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
  Copyright terms: Public domain W3C validator