MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Unicode version

Theorem coe1add 16616
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1add.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
coe1add.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
coe1add.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1add  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) )

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 coe1add.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2408 . . . . . 6  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 coe1add.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4ply1bas 16552 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
6 coe1add.q . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 coe1add.p . . . . . 6  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
82, 1, 7ply1plusg 16578 . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
9 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
10 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 16464 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  =  ( F  o F 
.+  G ) )
1211coeq1d 4997 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o F  .+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
13 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
142, 4, 13ply1basf 16559 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
15 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
17163ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
182, 4, 13ply1basf 16559 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
19 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  B  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
21203ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
22 df1o2 6699 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
23 nn0ex 10187 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
24 0ex 4303 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
25 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2622, 23, 24, 25mapsnf1o3 7025 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )
27 f1of 5637 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  -> 
( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
2826, 27mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
29 ovex 6069 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( NN0  ^m  1o )  e. 
_V )
3123a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
32 inidm 3514 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  i^i  ( NN0  ^m  1o ) )  =  ( NN0  ^m  1o )
3317, 21, 28, 30, 30, 31, 32ofco 6287 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  o F 
.+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  o F 
.+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
3412, 33eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  o F  .+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
352ply1rng 16601 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
364, 7rngacl 15650 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
3735, 36syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
38 eqid 2408 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )
3938, 4, 2, 25coe1fval2 16567 . . 3  |-  ( ( F  .+b  G )  e.  B  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F 
.+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
4037, 39syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F  .+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
41 eqid 2408 . . . . 5  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
4241, 4, 2, 25coe1fval2 16567 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
43423ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
44 eqid 2408 . . . . 5  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
4544, 4, 2, 25coe1fval2 16567 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
46453ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
4743, 46oveq12d 6062 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F )  o F  .+  (coe1 `  G
) )  =  ( ( F  o.  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  o F  .+  ( G  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
4834, 40, 473eqtr4d 2450 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   (/)c0 3592   {csn 3778    e. cmpt 4230    X. cxp 4839    o. ccom 4845    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Fcof 6266   1oc1o 6680    ^m cmap 6981   NN0cn0 10181   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   Ringcrg 15619   mPoly cmpl 16367  PwSer1cps1 16528  Poly1cpl1 16530  coe1cco1 16533
This theorem is referenced by:  coe1addfv  16617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-subrg 15825  df-psr 16376  df-mpl 16378  df-opsr 16384  df-psr1 16535  df-ply1 16537  df-coe1 16540
  Copyright terms: Public domain W3C validator