MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Unicode version

Theorem coe1add 16695
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1add.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
coe1add.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
coe1add.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1add  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) )

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 coe1add.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 coe1add.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4ply1bas 16631 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
6 coe1add.q . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 coe1add.p . . . . . 6  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
82, 1, 7ply1plusg 16657 . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
9 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
10 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 16543 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  =  ( F  o F 
.+  G ) )
1211coeq1d 5069 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o F  .+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
13 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
142, 4, 13ply1basf 16638 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
15 ffn 5626 . . . . . 6  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
17163ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
182, 4, 13ply1basf 16638 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
19 ffn 5626 . . . . . 6  |-  ( G : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
)  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  B  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
21203ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  Fn  ( NN0  ^m  1o ) )
22 df1o2 6772 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
23 nn0ex 10265 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
24 0ex 4370 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
25 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2622, 23, 24, 25mapsnf1o3 7098 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )
27 f1of 5709 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  -> 
( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
2826, 27mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
29 ovex 6142 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( NN0  ^m  1o )  e. 
_V )
3123a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
32 inidm 3538 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  i^i  ( NN0  ^m  1o ) )  =  ( NN0  ^m  1o )
3317, 21, 28, 30, 30, 31, 32ofco 6360 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  o F 
.+  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  o F 
.+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
3412, 33eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .+b  G
)  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  =  ( ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  o F  .+  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
352ply1rng 16680 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
364, 7rngacl 15729 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
3735, 36syl3an1 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+b  G )  e.  B )
38 eqid 2443 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )
3938, 4, 2, 25coe1fval2 16646 . . 3  |-  ( ( F  .+b  G )  e.  B  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F 
.+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
4037, 39syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( ( F  .+b  G )  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
41 eqid 2443 . . . . 5  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
4241, 4, 2, 25coe1fval2 16646 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
43423ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  F )  =  ( F  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
44 eqid 2443 . . . . 5  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
4544, 4, 2, 25coe1fval2 16646 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
46453ad2ant3 981 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G )  =  ( G  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) ) )
4743, 46oveq12d 6135 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F )  o F  .+  (coe1 `  G
) )  =  ( ( F  o.  (
a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )  o F  .+  ( G  o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) ) )
4834, 40, 473eqtr4d 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   _Vcvv 2965   (/)c0 3616   {csn 3843    e. cmpt 4297    X. cxp 4911    o. ccom 4917    Fn wfn 5484   -->wf 5485   -1-1-onto->wf1o 5488   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    o Fcof 6339   1oc1o 6753    ^m cmap 7054   NN0cn0 10259   Basecbs 13507   +g cplusg 13567   Ringcrg 15698   mPoly cmpl 16446  PwSer1cps1 16607  Poly1cpl1 16609  coe1cco1 16612
This theorem is referenced by:  coe1addfv  16696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-ofr 6342  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-hash 11657  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-mhm 14776  df-submnd 14777  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-mulg 14853  df-subg 14979  df-ghm 15042  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-abl 15453  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-ur 15703  df-subrg 15904  df-psr 16455  df-mpl 16457  df-opsr 16463  df-psr1 16614  df-ply1 16616  df-coe1 16619
  Copyright terms: Public domain W3C validator