MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1addfv Unicode version

Theorem coe1addfv 16585
Description: A particular coefficient of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1add.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
coe1add.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
coe1add.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1addfv  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .+b  G ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  X )  .+  ( (coe1 `  G ) `  X ) ) )

Proof of Theorem coe1addfv
StepHypRef Expression
1 coe1add.y . . . . 5  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
2 coe1add.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 coe1add.p . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
4 coe1add.q . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
51, 2, 3, 4coe1add 16584 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) )
65adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( F  .+b  G ) )  =  ( (coe1 `  F )  o F  .+  (coe1 `  G
) ) )
76fveq1d 5670 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .+b  G ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  F
)  o F  .+  (coe1 `  G ) ) `  X ) )
8 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
9 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
108, 2, 1, 9coe1f 16536 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
11 ffn 5531 . . . . . 6  |-  ( (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )  ->  (coe1 `  F )  Fn 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F )  Fn  NN0 )
13123ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  F )  Fn  NN0 )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  F )  Fn 
NN0 )
15 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
1615, 2, 1, 9coe1f 16536 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
17 ffn 5531 . . . . . 6  |-  ( (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )  ->  (coe1 `  G )  Fn 
NN0 )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G )  Fn  NN0 )
19183ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G )  Fn  NN0 )
2019adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  G )  Fn 
NN0 )
21 nn0ex 10159 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  NN0  e.  _V )
23 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  X  e.  NN0 )
24 fnfvof 6256 . . 3  |-  ( ( ( (coe1 `  F )  Fn 
NN0  /\  (coe1 `  G
)  Fn  NN0 )  /\  ( NN0  e.  _V  /\  X  e.  NN0 )
)  ->  ( (
(coe1 `  F )  o F  .+  (coe1 `  G
) ) `  X
)  =  ( ( (coe1 `  F ) `  X )  .+  (
(coe1 `  G ) `  X ) ) )
2514, 20, 22, 23, 24syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( (coe1 `  F )  o F 
.+  (coe1 `  G ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  X )  .+  ( (coe1 `  G ) `  X ) ) )
267, 25eqtrd 2419 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .+b  G ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  X )  .+  ( (coe1 `  G ) `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Ringcrg 15587  Poly1cpl1 16498  coe1cco1 16501
This theorem is referenced by:  coe1subfv  16586  deg1add  19893  hbtlem2  26997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-psr 16344  df-mpl 16346  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-ply1 16505  df-coe1 16508
  Copyright terms: Public domain W3C validator