MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1f2 Structured version   Unicode version

Theorem coe1f2 16607
Description: Functionality of univariate power series coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1f2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1f2.p  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
coe1f2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1f2  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> K )

Proof of Theorem coe1f2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1f2.p . . . 4  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
2 coe1f2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1f2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3psr1basf 16599 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> K )
5 df1o2 6736 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 nn0ex 10227 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
7 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
8 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { x }
) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { x }
) )
95, 6, 7, 8mapsnf1o3 7062 . . . 4  |-  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { x }
) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )
10 f1of 5674 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { x }
) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  -> 
( x  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { x }
) ) : NN0 --> ( NN0  ^m  1o )
12 fco 5600 . . 3  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> K  /\  ( x  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) : NN0 --> ( NN0 
^m  1o ) )  ->  ( F  o.  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) ) : NN0 --> K )
134, 11, 12sylancl 644 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) ) : NN0 --> K )
14 coe1fval.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
1514, 2, 1, 8coe1fval3 16606 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) ) )
1615feq1d 5580 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( A : NN0 --> K  <->  ( F  o.  ( x  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { x } ) ) ) : NN0 --> K ) )
1713, 16mpbird 224 1  |-  ( F  e.  B  ->  A : NN0 --> K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   {csn 3814    e. cmpt 4266    X. cxp 4876    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   NN0cn0 10221   Basecbs 13469  PwSer1cps1 16569  coe1cco1 16574
This theorem is referenced by:  coe1f  16609  coe1mul2  16662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-psr 16417  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-coe1 16581
  Copyright terms: Public domain W3C validator