MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Unicode version

Theorem coe1fval3 16608
Description: Univariate power series coeffecient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1f2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1f2.p  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
coe1fval3.g  |-  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
coe1fval3  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  G ) )
Distinct variable group:    y, F
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    P( y)    R( y)    G( y)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3  |-  A  =  (coe1 `  F )
21coe1fval 16605 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( F `  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
3 coe1f2.p . . . . 5  |-  P  =  (PwSer1 `  R )
4 coe1f2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
63, 4, 5psr1basf 16601 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> ( Base `  R
) )
7 ssv 3370 . . . 4  |-  ( Base `  R )  C_  _V
8 fss 5601 . . . 4  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> (
Base `  R )  /\  ( Base `  R
)  C_  _V )  ->  F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V )
96, 7, 8sylancl 645 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V )
10 fconst6g 5634 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { y } ) : 1o --> NN0 )
1110adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { y } ) : 1o --> NN0 )
12 nn0ex 10229 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
13 1on 6733 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
1413elexi 2967 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
1512, 14elmap 7044 . . . . 5  |-  ( ( 1o  X.  { y } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
y } ) : 1o --> NN0 )
1611, 15sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( F : ( NN0 
^m  1o ) --> _V 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
17 coe1fval3.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  G  =  ( y  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )
19 id 21 . . . . 5  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  F :
( NN0  ^m  1o ) --> _V )
2019feqmptd 5781 . . . 4  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  F  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( F `  x
) ) )
21 fveq2 5730 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1o  X.  { y } )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { y } ) ) )
2216, 18, 20, 21fmptco 5903 . . 3  |-  ( F : ( NN0  ^m  1o ) --> _V  ->  ( F  o.  G )  =  ( y  e.  NN0  |->  ( F `  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
239, 22syl 16 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  G )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( F `  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
242, 23eqtr4d 2473 1  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4268   Oncon0 4583    X. cxp 4878    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1oc1o 6719    ^m cmap 7020   NN0cn0 10223   Basecbs 13471  PwSer1cps1 16571  coe1cco1 16576
This theorem is referenced by:  coe1f2  16609  coe1fval2  16610  coe1mul2  16664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-psr 16419  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-coe1 16583
  Copyright terms: Public domain W3C validator