MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul 16664
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul.s  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
coe1mul.t  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
coe1mul.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
coe1mul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
coe1mul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    R, k, x    .xb , k    .x. , k, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)    .xb (
x)    Y( x, k)

Proof of Theorem coe1mul
StepHypRef Expression
1 id 21 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
2 coe1mul.s . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
3 coe1mul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
42, 3ply1bascl 16602 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
52, 3ply1bascl 16602 . 2  |-  ( G  e.  B  ->  G  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
6 eqid 2437 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
8 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
9 coe1mul.t . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
102, 7, 9ply1mulr 16622 . . . . 5  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
117, 8, 10mplmulr 16616 . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
12 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
136, 8, 12psr1mulr 16619 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
1411, 13eqtr4i 2460 . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  (PwSer1 `  R
) )
15 coe1mul.u . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
16 eqid 2437 . . 3  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
176, 14, 15, 16coe1mul2 16663 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  /\  G  e.  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
181, 4, 5, 17syl3an 1227 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1oc1o 6718   0cc0 8991    - cmin 9292   NN0cn0 10222   ...cfz 11044   Basecbs 13470   .rcmulr 13531    gsumg cgsu 13725   Ringcrg 15661   mPwSer cmps 16407   mPoly cmpl 16409  PwSer1cps1 16570  Poly1cpl1 16572  coe1cco1 16575
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  16669  coe1tmmul  16670  coe1mul3  20023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mulg 14816  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-psr 16418  df-mpl 16420  df-opsr 16426  df-psr1 16577  df-ply1 16579  df-coe1 16582
  Copyright terms: Public domain W3C validator