Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2 16663
 Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s PwSer1
coe1mul2.t
coe1mul2.u
coe1mul2.b
Assertion
Ref Expression
coe1mul2 coe1 g coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5633 . . . . 5
2 nn0ex 10228 . . . . . 6
3 1on 6732 . . . . . . 7
43elexi 2966 . . . . . 6
52, 4elmap 7043 . . . . 5
61, 5sylibr 205 . . . 4
8 eqidd 2438 . . 3
9 eqid 2437 . . . 4 mPwSer mPwSer
10 coe1mul2.s . . . . 5 PwSer1
11 coe1mul2.b . . . . 5
1210, 11, 9psr1bas2 16589 . . . 4 mPwSer
13 coe1mul2.u . . . 4
14 coe1mul2.t . . . . 5
1510, 9, 14psr1mulr 16619 . . . 4 mPwSer
16 psr1baslem 16584 . . . 4
17 simp2 959 . . . 4
18 simp3 960 . . . 4
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 16450 . . 3 g
20 breq2 4217 . . . . . 6
2120rabbidv 2949 . . . . 5
22 oveq1 6089 . . . . . . 7
2322fveq2d 5733 . . . . . 6
2423oveq2d 6098 . . . . 5
2521, 24mpteq12dv 4288 . . . 4
2625oveq2d 6098 . . 3 g g
277, 8, 19, 26fmptco 5902 . 2 g
2810psr1rng 16642 . . . 4
2911, 14rngcl 15678 . . . 4
3028, 29syl3an1 1218 . . 3
31 eqid 2437 . . . 4 coe1 coe1
32 eqid 2437 . . . 4
3331, 11, 10, 32coe1fval3 16607 . . 3 coe1
3430, 33syl 16 . 2 coe1
35 eqid 2437 . . . . 5
36 eqid 2437 . . . . 5
37 simpl1 961 . . . . . 6
38 rngcmn 15695 . . . . . 6 CMnd
3937, 38syl 16 . . . . 5 CMnd
40 fzfi 11312 . . . . . 6
4140a1i 11 . . . . 5
42 simpll1 997 . . . . . . 7
43 simpll2 998 . . . . . . . . 9
44 eqid 2437 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
4544, 11, 10, 35coe1f2 16608 . . . . . . . . 9 coe1
4643, 45syl 16 . . . . . . . 8 coe1
47 elfznn0 11084 . . . . . . . . 9
4847adantl 454 . . . . . . . 8
4946, 48ffvelrnd 5872 . . . . . . 7 coe1
50 simpll3 999 . . . . . . . . 9
51 eqid 2437 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
5251, 11, 10, 35coe1f2 16608 . . . . . . . . 9 coe1
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8 coe1
54 fznn0sub 11086 . . . . . . . . 9
5554adantl 454 . . . . . . . 8
5653, 55ffvelrnd 5872 . . . . . . 7 coe1
5735, 13rngcl 15678 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
5842, 49, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . 6 coe1 coe1
59 eqid 2437 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
6058, 59fmptd 5894 . . . . 5 coe1 coe1
61 cnvimass 5225 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1 coe1
6259dmmptss 5367 . . . . . . . 8 coe1 coe1
6361, 62sstri 3358 . . . . . . 7 coe1 coe1
64 ssfi 7330 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
6540, 63, 64mp2an 655 . . . . . 6 coe1 coe1
6665a1i 11 . . . . 5 coe1 coe1
67 eqid 2437 . . . . . . 7
6867coe1mul2lem2 16662 . . . . . 6
6968adantl 454 . . . . 5
7035, 36, 39, 41, 60, 66, 69gsumf1o 15523 . . . 4 g coe1 coe1 g coe1 coe1
71 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11
7271elrab 3093 . . . . . . . . . 10
7372simprbi 452 . . . . . . . . 9
7473adantl 454 . . . . . . . 8
75 simplr 733 . . . . . . . . 9
76 elrabi 3091 . . . . . . . . . 10
7776adantl 454 . . . . . . . . 9
78 coe1mul2lem1 16661 . . . . . . . . 9
7975, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . . 8
8074, 79mpbid 203 . . . . . . 7
81 eqidd 2438 . . . . . . 7
82 eqidd 2438 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
83 fveq2 5729 . . . . . . . 8 coe1 coe1
84 oveq2 6090 . . . . . . . . 9
8584fveq2d 5733 . . . . . . . 8 coe1 coe1
8683, 85oveq12d 6100 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
8780, 81, 82, 86fmptco 5902 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
88 simpll2 998 . . . . . . . . 9
8944fvcoe1 16606 . . . . . . . . 9 coe1
9088, 77, 89syl2anc 644 . . . . . . . 8 coe1
91 df1o2 6737 . . . . . . . . . . . . . 14
92 0ex 4340 . . . . . . . . . . . . . 14
9391, 2, 92mapsnconst 7060 . . . . . . . . . . . . 13
9477, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9594oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11
963a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
97 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
99 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10196, 98, 100ofc12 6330 . . . . . . . . . . 11
10295, 101eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10
103102fveq2d 5733 . . . . . . . . 9
104 simpll3 999 . . . . . . . . . 10
105 fznn0sub 11086 . . . . . . . . . . 11
10680, 105syl 16 . . . . . . . . . 10
10751coe1fv 16605 . . . . . . . . . 10 coe1
108104, 106, 107syl2anc 644 . . . . . . . . 9 coe1
109103, 108eqtr4d 2472 . . . . . . . 8 coe1
11090, 109oveq12d 6100 . . . . . . 7 coe1 coe1
111110mpteq2dva 4296 . . . . . 6 coe1 coe1
11287, 111eqtr4d 2472 . . . . 5 coe1 coe1
113112oveq2d 6098 . . . 4 g coe1 coe1 g
11470, 113eqtrd 2469 . . 3 g coe1 coe1 g
115114mpteq2dva 4296 . 2 g coe1 coe1 g
11627, 34, 1153eqtr4d 2479 1 coe1 g coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  crab 2710  cvv 2957   cdif 3318   wss 3321  c0 3629  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267  con0 4582   cxp 4877  ccnv 4878   cdm 4879  cima 4882   ccom 4883  wf 5451  wf1o 5454  cfv 5455  (class class class)co 6082   cof 6304   cofr 6305  c1o 6718   cmap 7019  cfn 7110  cc0 8991   cle 9122   cmin 9292  cn0 10222  cfz 11044  cbs 13470  cmulr 13531  c0g 13724   g cgsu 13725  CMndccmn 15413  crg 15661   mPwSer cmps 16407  PwSer1cps1 16570  coe1cco1 16575 This theorem is referenced by:  coe1mul  16664 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mulg 14816  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-psr 16418  df-opsr 16426  df-psr1 16577  df-coe1 16582
 Copyright terms: Public domain W3C validator