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Theorem coe1mul2 16663
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
coe1mul2.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
coe1mul2.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
coe1mul2.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    k, F, x    .x. , k, x    k, G, x    R, k, x    .xb , k
Allowed substitution hints:    S( x, k)    .xb (
x)

Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5633 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { k } ) : 1o --> NN0 )
2 nn0ex 10228 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
3 1on 6732 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
43elexi 2966 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
52, 4elmap 7043 . . . . 5  |-  ( ( 1o  X.  { k } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
k } ) : 1o --> NN0 )
61, 5sylibr 205 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { k } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
76adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { k } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
8 eqidd 2438 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) ) )
9 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
10 coe1mul2.s . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
11 coe1mul2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
1210, 11, 9psr1bas2 16589 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
13 coe1mul2.u . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
14 coe1mul2.t . . . . 5  |-  .xb  =  ( .r `  S )
1510, 9, 14psr1mulr 16619 . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
16 psr1baslem 16584 . . . 4  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
17 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
18 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 16450 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) 
.x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
20 breq2 4217 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( d  o R  <_  b  <->  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
2120rabbidv 2949 . . . . 5  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )
22 oveq1 6089 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( b  o F  -  c )  =  ( ( 1o 
X.  { k } )  o F  -  c ) )
2322fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( G `  ( b  o F  -  c ) )  =  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) )
2423oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c
) ) )  =  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) )
2521, 24mpteq12dv 4288 . . . 4  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
)  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( ( F `  c ) 
.x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) ) ) )
2625oveq2d 6098 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
)  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
277, 8, 19, 26fmptco 5902 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .xb  G
)  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
2810psr1rng 16642 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
2911, 14rngcl 15678 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  e.  B )
3028, 29syl3an1 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  e.  B )
31 eqid 2437 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )
32 eqid 2437 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )
3331, 11, 10, 32coe1fval3 16607 . . 3  |-  ( ( F  .xb  G )  e.  B  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( ( F 
.xb  G )  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { k } ) ) ) )
3430, 33syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( ( F  .xb  G )  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { k } ) ) ) )
35 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
36 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
37 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 rngcmn 15695 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e. CMnd )
40 fzfi 11312 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  e. 
Fin
4140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e.  Fin )
42 simpll1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  R  e.  Ring )
43 simpll2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  F  e.  B )
44 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
4544, 11, 10, 35coe1f2 16608 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
4643, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
47 elfznn0 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  ->  x  e.  NN0 )
4847adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  x  e.  NN0 )
4946, 48ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
(coe1 `  F ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
50 simpll3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  G  e.  B )
51 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
5251, 11, 10, 35coe1f2 16608 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
54 fznn0sub 11086 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  x )  e.  NN0 )
5554adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  x )  e.  NN0 )
5653, 55ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)
5735, 13rngcl 15678 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  F ) `  x )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5842, 49, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
59 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )
6058, 59fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) ) : ( 0 ... k
) --> ( Base `  R
) )
61 cnvimass 5225 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
6259dmmptss 5367 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) 
C_  ( 0 ... k )
6361, 62sstri 3358 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  ( 0 ... k )
64 ssfi 7330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... k
)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) 
C_  ( 0 ... k ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
6540, 63, 64mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
67 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) }
6867coe1mul2lem2 16662 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) : {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )
6968adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) : {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )
7035, 36, 39, 41, 60, 66, 69gsumf1o 15523 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( c `  (/) ) ) ) ) )
71 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  c  ->  (
d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } )  <->  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
7271elrab 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  <->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  /\  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
7372simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  ->  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) )
7473adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) )
75 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  k  e.  NN0 )
76 elrabi 3091 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  ->  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
7776adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
78 coe1mul2lem1 16661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
7975, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } )  <->  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
8074, 79mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) )
81 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( c `
 (/) ) ) )
82 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )
83 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (coe1 `  F ) `  x
)  =  ( (coe1 `  F ) `  (
c `  (/) ) ) )
84 oveq2 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( k  -  x )  =  ( k  -  ( c `
 (/) ) ) )
8584fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  ( c `
 (/) ) ) ) )
8683, 85oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (
(coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) )
8780, 81, 82, 86fmptco 5902 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) ) )
88 simpll2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  F  e.  B )
8944fvcoe1 16606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  B  /\  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  c
)  =  ( (coe1 `  F ) `  (
c `  (/) ) ) )
9088, 77, 89syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( F `  c )  =  ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) ) )
91 df1o2 6737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =  { (/) }
92 0ex 4340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
9391, 2, 92mapsnconst 7060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  c  =  ( 1o  X.  {
( c `  (/) ) } ) )
9477, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  =  ( 1o  X.  { ( c `  (/) ) } ) )
9594oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  c )  =  ( ( 1o 
X.  { k } )  o F  -  ( 1o  X.  { ( c `  (/) ) } ) ) )
963a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  1o  e.  On )
97 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  k  e. 
_V
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  k  e.  _V )
99 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c `
 (/) )  e.  _V
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c `  (/) )  e. 
_V )
10196, 98, 100ofc12 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  ( 1o 
X.  { ( c `
 (/) ) } ) )  =  ( 1o 
X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) )
10295, 101eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  c )  =  ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) )
103102fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) )  =  ( G `  ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
104 simpll3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  G  e.  B )
105 fznn0sub 11086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  ->  ( k  -  ( c `  (/) ) )  e.  NN0 )
10680, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
k  -  ( c `
 (/) ) )  e. 
NN0 )
10751coe1fv 16605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  B  /\  ( k  -  (
c `  (/) ) )  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
108104, 106, 107syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
109103, 108eqtr4d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) )
11090, 109oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( F `  c
)  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) )
111110mpteq2dva 4296 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  ( c `  (/) ) ) 
.x.  ( (coe1 `  G
) `  ( k  -  ( c `  (/) ) ) ) ) ) )
11287, 111eqtr4d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) )
113112oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
11470, 113eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
115114mpteq2dva 4296 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
11627, 34, 1153eqtr4d 2479 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   (/)c0 3629   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   Oncon0 4582    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882    o. ccom 4883   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    o Rcofr 6305   1oc1o 6718    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   0cc0 8991    <_ cle 9122    - cmin 9292   NN0cn0 10222   ...cfz 11044   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725  CMndccmn 15413   Ringcrg 15661   mPwSer cmps 16407  PwSer1cps1 16570  coe1cco1 16575
This theorem is referenced by:  coe1mul  16664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
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