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Theorem coe1mul2 16362
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
coe1mul2.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
coe1mul2.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
coe1mul2.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    k, F, x    .x. , k, x    k, G, x    R, k, x    .xb , k
Allowed substitution hints:    S( x, k)    .xb (
x)

Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5446 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { k } ) : 1o --> NN0 )
2 nn0ex 9987 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
3 1on 6502 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
43elexi 2810 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
52, 4elmap 6812 . . . . 5  |-  ( ( 1o  X.  { k } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
k } ) : 1o --> NN0 )
61, 5sylibr 203 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { k } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { k } )  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
8 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) ) )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
10 coe1mul2.s . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
11 coe1mul2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
1210, 11, 9psr1bas2 16285 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
13 coe1mul2.u . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
14 coe1mul2.t . . . . 5  |-  .xb  =  ( .r `  S )
1510, 9, 14psr1mulr 16318 . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
16 psr1baslem 16280 . . . 4  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
17 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
18 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 16146 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) 
.x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
20 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( d  o R  <_  b  <->  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
2120rabbidv 2793 . . . . 5  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )
22 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( b  o F  -  c )  =  ( ( 1o 
X.  { k } )  o F  -  c ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( G `  ( b  o F  -  c ) )  =  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) )
2423oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c
) ) )  =  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) )
2521, 24mpteq12dv 4114 . . . 4  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
)  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( ( F `  c ) 
.x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) ) ) )
2625oveq2d 5890 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { k } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
)  .x.  ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
277, 8, 19, 26fmptco 5707 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F  .xb  G
)  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
2810psr1rng 16341 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
2911, 14rngcl 15370 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  e.  B )
3028, 29syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  e.  B )
31 eqid 2296 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )
32 eqid 2296 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { k } ) )
3331, 11, 10, 32coe1fval3 16305 . . 3  |-  ( ( F  .xb  G )  e.  B  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( ( F 
.xb  G )  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { k } ) ) ) )
3430, 33syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( ( F  .xb  G )  o.  ( k  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { k } ) ) ) )
35 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
36 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
37 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 rngcmn 15387 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
3937, 38syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e. CMnd )
40 fzfi 11050 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  e. 
Fin
4140a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e.  Fin )
42 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  R  e.  Ring )
43 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  F  e.  B )
44 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
4544, 11, 10, 35coe1f2 16306 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
4643, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
47 elfznn0 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  ->  x  e.  NN0 )
4847adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  x  e.  NN0 )
49 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  F ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  F ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
(coe1 `  F ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
51 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  G  e.  B )
52 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
5352, 11, 10, 35coe1f2 16306 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
5451, 53syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
55 fznn0sub 10840 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  x )  e.  NN0 )
5655adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  x )  e.  NN0 )
57 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  ( k  -  x )  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  G
) `  ( k  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5854, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)
5935, 13rngcl 15370 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  F ) `  x )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6042, 50, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
61 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )
6260, 61fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) ) : ( 0 ... k
) --> ( Base `  R
) )
63 cnvimass 5049 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
6461dmmptss 5185 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) 
C_  ( 0 ... k )
6563, 64sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  ( 0 ... k )
66 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... k
)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) 
C_  ( 0 ... k ) )  -> 
( `' ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
6740, 65, 66mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin
6867a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( `' ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
69 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) }
7069coe1mul2lem2 16361 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) : {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )
7170adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) : {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } -1-1-onto-> ( 0 ... k ) )
7235, 36, 39, 41, 62, 68, 71gsumf1o 15215 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( c `  (/) ) ) ) ) )
73 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  c  ->  (
d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } )  <->  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
7473elrab 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  <->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  /\  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) ) )
7574simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  ->  c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) )
7675adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) )
77 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  k  e.  NN0 )
78 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  C_  ( NN0  ^m  1o )
7978sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  ->  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )
81 coe1mul2lem1 16360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( c  o R  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } )  <->  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
8376, 82mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) )
84 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( c `
 (/) ) ) )
85 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0 ... k
)  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x
)  .x.  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 ... k ) 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  x )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (coe1 `  F ) `  x
)  =  ( (coe1 `  F ) `  (
c `  (/) ) ) )
87 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( k  -  x )  =  ( k  -  ( c `
 (/) ) ) )
8887fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  x ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  (
k  -  ( c `
 (/) ) ) ) )
8986, 88oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c `  (/) )  ->  ( (
(coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) )
9083, 84, 85, 89fmptco 5707 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) ) )
91 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  F  e.  B )
9244fvcoe1 16304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  B  /\  c  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  c
)  =  ( (coe1 `  F ) `  (
c `  (/) ) ) )
9391, 80, 92syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( F `  c )  =  ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) ) )
94 df1o2 6507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =  { (/) }
95 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
9694, 2, 95mapsnconst 6829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  c  =  ( 1o  X.  {
( c `  (/) ) } ) )
9780, 96syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  c  =  ( 1o  X.  { ( c `  (/) ) } ) )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  c )  =  ( ( 1o 
X.  { k } )  o F  -  ( 1o  X.  { ( c `  (/) ) } ) ) )
993a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  1o  e.  On )
100 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  k  e. 
_V
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  k  e.  _V )
102 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c `
 (/) )  e.  _V
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
c `  (/) )  e. 
_V )
10499, 101, 103ofc12 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  ( 1o 
X.  { ( c `
 (/) ) } ) )  =  ( 1o 
X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) )
10598, 104eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( 1o  X.  {
k } )  o F  -  c )  =  ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) )
106105fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) )  =  ( G `  ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
107 simpll3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  G  e.  B )
108 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  ->  ( k  -  ( c `  (/) ) )  e.  NN0 )
10983, 108syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
k  -  ( c `
 (/) ) )  e. 
NN0 )
11052coe1fv 16303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  B  /\  ( k  -  (
c `  (/) ) )  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
111107, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) )  =  ( G `
 ( 1o  X.  { ( k  -  ( c `  (/) ) ) } ) ) )
112106, 111eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) )
11393, 112oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  k  e.  NN0 )  /\  c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) } )  ->  (
( F `  c
)  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c
) ) )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  ( c `  (/) ) )  .x.  ( (coe1 `  G ) `  ( k  -  (
c `  (/) ) ) ) ) )
114113mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) )  =  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  ( c `  (/) ) ) 
.x.  ( (coe1 `  G
) `  ( k  -  ( c `  (/) ) ) ) ) ) )
11590, 114eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) )
116115oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( c `  (/) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }  |->  ( ( F `
 c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
11772, 116eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  ( 0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) )
118117mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  d  o R  <_ 
( 1o  X.  {
k } ) } 
|->  ( ( F `  c )  .x.  ( G `  ( ( 1o  X.  { k } )  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
11927, 34, 1183eqtr4d 2338 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( F  .xb  G ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  (
0 ... k )  |->  ( ( (coe1 `  F ) `  x )  .x.  (
(coe1 `  G ) `  ( k  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Oncon0 4408    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093   1oc1o 6488    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   mPwSer cmps 16103  PwSer1cps1 16266  coe1cco1 16271
This theorem is referenced by:  coe1mul  16363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-coe1 16278
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