MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul2lem1 16660
Description: An equivalence for coe1mul2 16662. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  o R  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 6731 . . . 4  |-  1o  e.  On
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  1o  e.  On )
3 fvex 5742 . . . 4  |-  ( X `
 (/) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  ( X `  (/) )  e.  _V )
5 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0 
^m  1o ) )  /\  a  e.  1o )  ->  A  e.  NN0 )
6 df1o2 6736 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
7 nn0ex 10227 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
8 0ex 4339 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
96, 7, 8mapsnconst 7059 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
11 fconstmpt 4921 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { ( X `
 (/) ) } )  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) )
1210, 11syl6eq 2484 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( a  e.  1o  |->  ( X `  (/) ) ) )
13 fconstmpt 4921 . . . 4  |-  ( 1o 
X.  { A }
)  =  ( a  e.  1o  |->  A )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( 1o  X.  { A } )  =  ( a  e.  1o  |->  A ) )
152, 4, 5, 12, 14ofrfval2 6323 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  o R  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
16 1n0 6739 . . 3  |-  1o  =/=  (/)
17 r19.3rzv 3721 . . 3  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( ( X `  (/) )  <_  A 
<-> 
A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A ) )
1816, 17mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  A. a  e.  1o  ( X `  (/) )  <_  A )
)
19 elmapi 7038 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
20 0lt1o 6748 . . . . . 6  |-  (/)  e.  1o
21 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2219, 20, 21sylancl 644 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
2423biantrurd 495 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
25 fznn0 11113 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( ( X `
 (/) )  e.  NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A ) ) )
2625adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( X `  (/) )  e. 
NN0  /\  ( X `  (/) )  <_  A
) ) )
2724, 26bitr4d 248 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( ( X `  (/) )  <_  A  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
2815, 18, 273bitr2d 273 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( X  o R  <_  ( 1o  X.  { A } )  <->  ( X `  (/) )  e.  ( 0 ... A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   Oncon0 4581    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   0cc0 8990    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  16661  coe1mul2  16662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator