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Theorem coe1mul2lem2 16661
Description: An equivalence for coe1mul2 16662. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Distinct variable groups:    H, c    c, d, k
Allowed substitution hints:    H( k, d)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 6736 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10227 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) )  =  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7061 . . . 4  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
6 f1of1 5673 . . . 4  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-> NN0 )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5  |-  H  =  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } ) }
9 ssrab2 3428 . . . . 5  |-  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  C_  ( NN0  ^m  1o )
108, 9eqsstri 3378 . . . 4  |-  H  C_  ( NN0  ^m  1o )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )
12 f1ores 5689 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-> NN0  /\  H  C_  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
137, 11, 12sylancr 645 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H ) )
14 coe1mul2lem1 16660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  d  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( d  o R  <_  ( 1o  X.  { k } )  <-> 
( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) ) )
1514rabbidva 2947 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
16 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
c `  (/) )  =  ( d `  (/) ) )
1716eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  d  ->  (
( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
)  <->  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) ) )
1817cbvrabv 2955 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  (
c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }  =  {
d  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( d `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) }
1915, 18syl6eqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  { d  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  d  o R  <_  ( 1o 
X.  { k } ) }  =  {
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k
) } )
204mptpreima 5363 . . . . . . 7  |-  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( c `  (/) )  e.  ( 0 ... k ) }
2119, 8, 203eqtr4g 2493 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  H  =  ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) "
( 0 ... k
) ) )
2221imaeq2d 5203 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " ( `' ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) " (
0 ... k ) ) ) )
23 f1ofo 5681 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
245, 23ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( c `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0
25 elfznn0 11083 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 ... k )  ->  a  e.  NN0 )
2625ssriv 3352 . . . . . 6  |-  ( 0 ... k )  C_  NN0
27 foimacnv 5692 . . . . . 6  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  /\  ( 0 ... k )  C_  NN0 )  ->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k ) )
2824, 26, 27mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( `' ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" ( 0 ... k ) ) )  =  ( 0 ... k )
2922, 28syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
) )
30 f1oeq3 5667 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  =  ( 0 ... k
)  ->  ( (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( (
c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k ) ) )
32 resmpt 5191 . . . 4  |-  ( H 
C_  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) ) )
33 f1oeq1 5665 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H )  =  ( c  e.  H  |->  ( c `  (/) ) )  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3411, 32, 333syl 19 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
0 ... k )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3531, 34bitrd 245 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )  |`  H ) : H -1-1-onto-> (
( c  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( c `  (/) ) )
" H )  <->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) ) )
3613, 35mpbid 202 1  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( c  e.  H  |->  ( c `
 (/) ) ) : H -1-1-onto-> ( 0 ... k
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877    |` cres 4880   "cima 4881   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   0cc0 8990    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  coe1mul2  16662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
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