Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul3 Unicode version

Theorem coe1mul3 19583
 Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul3.s Poly1
coe1mul3.t
coe1mul3.u
coe1mul3.b
coe1mul3.d deg1
coe1mul3.r
coe1mul3.f1
coe1mul3.f2
coe1mul3.f3
coe1mul3.g1
coe1mul3.g2
coe1mul3.g3
Assertion
Ref Expression
coe1mul3 coe1 coe1 coe1

Proof of Theorem coe1mul3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1mul3.r . . . 4
2 coe1mul3.f1 . . . 4
3 coe1mul3.g1 . . . 4
4 coe1mul3.s . . . . 5 Poly1
5 coe1mul3.t . . . . 5
6 coe1mul3.u . . . . 5
7 coe1mul3.b . . . . 5
84, 5, 6, 7coe1mul 16440 . . . 4 coe1 g coe1 coe1
91, 2, 3, 8syl3anc 1182 . . 3 coe1 g coe1 coe1
109fveq1d 5607 . 2 coe1 g coe1 coe1
11 coe1mul3.f2 . . . 4
12 coe1mul3.g2 . . . 4
1311, 12nn0addcld 10111 . . 3
14 oveq2 5950 . . . . . 6
15 oveq1 5949 . . . . . . . 8
1615fveq2d 5609 . . . . . . 7 coe1 coe1
1716oveq2d 5958 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
1814, 17mpteq12dv 4177 . . . . 5 coe1 coe1 coe1 coe1
1918oveq2d 5958 . . . 4 g coe1 coe1 g coe1 coe1
20 eqid 2358 . . . 4 g coe1 coe1 g coe1 coe1
21 ovex 5967 . . . 4 g coe1 coe1
2219, 20, 21fvmpt 5682 . . 3 g coe1 coe1 g coe1 coe1
2313, 22syl 15 . 2 g coe1 coe1 g coe1 coe1
24 eqid 2358 . . . 4
25 eqid 2358 . . . 4
26 rngmnd 15443 . . . . 5
271, 26syl 15 . . . 4
28 ovex 5967 . . . . 5
2928a1i 10 . . . 4
3011nn0red 10108 . . . . . 6
31 nn0addge1 10099 . . . . . 6
3230, 12, 31syl2anc 642 . . . . 5
33 fznn0 10940 . . . . . 6
3413, 33syl 15 . . . . 5
3511, 32, 34mpbir2and 888 . . . 4
361adantr 451 . . . . . 6
37 eqid 2358 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
3837, 7, 4, 24coe1f 16385 . . . . . . . 8 coe1
392, 38syl 15 . . . . . . 7 coe1
40 elfznn0 10911 . . . . . . 7
41 ffvelrn 5743 . . . . . . 7 coe1 coe1
4239, 40, 41syl2an 463 . . . . . 6 coe1
43 eqid 2358 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
4443, 7, 4, 24coe1f 16385 . . . . . . . 8 coe1
453, 44syl 15 . . . . . . 7 coe1
46 fznn0sub 10913 . . . . . . 7
47 ffvelrn 5743 . . . . . . 7 coe1 coe1
4845, 46, 47syl2an 463 . . . . . 6 coe1
4924, 6rngcl 15447 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
5036, 42, 48, 49syl3anc 1182 . . . . 5 coe1 coe1
51 eqid 2358 . . . . 5 coe1 coe1 coe1 coe1
5250, 51fmptd 5764 . . . 4 coe1 coe1
53 eldifsn 3825 . . . . . 6
5440adantl 452 . . . . . . . . . 10
5554nn0red 10108 . . . . . . . . 9
5630adantr 451 . . . . . . . . 9
5755, 56lttri2d 9045 . . . . . . . 8
583ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
5946adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
61 coe1mul3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1
6261, 4, 7deg1xrcl 19566 . . . . . . . . . . . . . . . 16
633, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
6512nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665rexrd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
6813nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069, 55resubcld 9298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170rexrd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
73 coe1mul3.g3 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
7565adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7655, 56, 75ltadd1d 9452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 ltaddsub2 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7855, 75, 69, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7976, 78bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14
8164, 67, 72, 74, 80xrlelttrd 10580 . . . . . . . . . . . . 13
8261, 4, 7, 25, 43deg1lt 19581 . . . . . . . . . . . . 13 coe1
8358, 60, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 coe1
8483oveq2d 5958 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1
8524, 6, 25rngrz 15471 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
8636, 42, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 coe1
8786adantr 451 . . . . . . . . . . 11 coe1
8884, 87eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
892ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
9054adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
9161, 4, 7deg1xrcl 19566 . . . . . . . . . . . . . . . 16
922, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
9430rexrd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
9655rexrd 8968 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
98 coe1mul3.f3 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
10193, 95, 97, 99, 100xrlelttrd 10580 . . . . . . . . . . . . 13
10261, 4, 7, 25, 37deg1lt 19581 . . . . . . . . . . . . 13 coe1
10389, 90, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 coe1
104103oveq1d 5957 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1
10524, 6, 25rnglz 15470 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
10636, 48, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 coe1
107106adantr 451 . . . . . . . . . . 11 coe1
108104, 107eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
10988, 108jaodan 760 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
110109ex 423 . . . . . . . 8 coe1 coe1
11157, 110sylbid 206 . . . . . . 7 coe1 coe1
112111impr 602 . . . . . 6 coe1 coe1
11353, 112sylan2b 461 . . . . 5 coe1 coe1
114113suppss2 6157 . . . 4 coe1 coe1
11524, 25, 27, 29, 35, 52, 114gsumpt 15315 . . 3 g coe1 coe1 coe1 coe1
116 fveq2 5605 . . . . . 6 coe1 coe1
117 oveq2 5950 . . . . . . 7
118117fveq2d 5609 . . . . . 6 coe1 coe1
119116, 118oveq12d 5960 . . . . 5 coe1 coe1 coe1 coe1
120 ovex 5967 . . . . 5 coe1 coe1
121119, 51, 120fvmpt 5682 . . . 4 coe1 coe1 coe1 coe1
12235, 121syl 15 . . 3 coe1 coe1 coe1 coe1
12311nn0cnd 10109 . . . . . 6
12412nn0cnd 10109 . . . . . 6
125123, 124pncan2d 9246 . . . . 5
126125fveq2d 5609 . . . 4 coe1 coe1
127126oveq2d 5958 . . 3 coe1 coe1 coe1 coe1
128115, 122, 1273eqtrd 2394 . 2 g coe1 coe1 coe1 coe1
12910, 23, 1283eqtrd 2394 1 coe1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  cvv 2864   cdif 3225  csn 3716   class class class wbr 4102   cmpt 4156  wf 5330  cfv 5334  (class class class)co 5942  cr 8823  cc0 8824   caddc 8827  cxr 8953   clt 8954   cle 8955   cmin 9124  cn0 10054  cfz 10871  cbs 13239  cmulr 13300  c0g 13493   g cgsu 13494  cmnd 14454  crg 15430  Poly1cpl1 16345  coe1cco1 16348   deg1 cdg1 19538 This theorem is referenced by:  coe1mul4  19584 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-mulg 14585  df-ghm 14774  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-cring 15434  df-ur 15435  df-psr 16191  df-mpl 16193  df-opsr 16199  df-psr1 16350  df-ply1 16352  df-coe1 16355  df-cnfld 16477  df-mdeg 19539  df-deg1 19540
 Copyright terms: Public domain W3C validator