Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul4 Structured version   Unicode version

Theorem coe1mul4 20023
 Description: Value of the "leading" coefficient of a product of two nonzero polynomials. This will fail to actually be the leading coefficient only if it is zero (requiring the basic ring to contain zero divisors). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul3.s Poly1
coe1mul3.t
coe1mul3.u
coe1mul3.b
coe1mul3.d deg1
coe1mul4.z
coe1mul4.r
coe1mul4.f1
coe1mul4.f2
coe1mul4.g1
coe1mul4.g2
Assertion
Ref Expression
coe1mul4 coe1 coe1 coe1

Proof of Theorem coe1mul4
StepHypRef Expression
1 coe1mul3.s . 2 Poly1
2 coe1mul3.t . 2
3 coe1mul3.u . 2
4 coe1mul3.b . 2
5 coe1mul3.d . 2 deg1
6 coe1mul4.r . 2
7 coe1mul4.f1 . 2
8 coe1mul4.f2 . . 3
9 coe1mul4.z . . . 4
105, 1, 9, 4deg1nn0cl 20011 . . 3
116, 7, 8, 10syl3anc 1184 . 2
1211nn0red 10275 . . 3
1312leidd 9593 . 2
14 coe1mul4.g1 . 2
15 coe1mul4.g2 . . 3
165, 1, 9, 4deg1nn0cl 20011 . . 3
176, 14, 15, 16syl3anc 1184 . 2
1817nn0red 10275 . . 3
1918leidd 9593 . 2
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19coe1mul3 20022 1 coe1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cfv 5454  (class class class)co 6081   caddc 8993  cn0 10221  cbs 13469  cmulr 13530  c0g 13723  crg 15660  Poly1cpl1 16571  coe1cco1 16574   deg1 cdg1 19977 This theorem is referenced by:  deg1mul2  20037  mon1psubm  27502 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979
 Copyright terms: Public domain W3C validator