MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Unicode version

Theorem coe1pwmul 16634
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1pwmul.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1pwmul.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1pwmul.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1pwmul.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1pwmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1pwmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
coe1pwmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1pwmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1pwmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( D 
.^  X )  .x.  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, N    x, P    x, R    x, X    x, 
.^    x,  .0.    ph, x    x,  .x.
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2 eqid 2412 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 coe1pwmul.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 coe1pwmul.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
5 eqid 2412 . . 3  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
6 coe1pwmul.n . . 3  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 coe1pwmul.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 coe1pwmul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 coe1pwmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
10 eqid 2412 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
11 coe1pwmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 coe1pwmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
142, 13rngidcl 15647 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1512, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
16 coe1pwmul.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 16632 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( ( 1r `  R ) ( .s `  P
) ( D  .^  X ) )  .x.  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) ) )
183ply1sca 16610 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
1912, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
2019fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  P )
) )
2120oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  P ) ( D  .^  X )
)  =  ( ( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( D  .^  X
) ) )
223ply1lmod 16609 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
2312, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
243ply1rng 16605 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
256rngmgp 15633 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
2612, 24, 253syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Mnd )
274, 3, 8vr1cl 16574 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
2812, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
296, 8mgpbas 15617 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  N
)
3029, 7mulgnn0cl 14869 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  D  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( D  .^  X )  e.  B )
3126, 16, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  .^  X
)  e.  B )
32 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
33 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)
348, 32, 5, 33lmodvs1 15941 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( D  .^  X )  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( D  .^  X
) )  =  ( D  .^  X )
)
3523, 31, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( D  .^  X ) )  =  ( D  .^  X
) )
3621, 35eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  P ) ( D  .^  X )
)  =  ( D 
.^  X ) )
3736oveq1d 6063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1r
`  R ) ( .s `  P ) ( D  .^  X
) )  .x.  A
)  =  ( ( D  .^  X )  .x.  A ) )
3837fveq2d 5699 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( ( 1r `  R ) ( .s `  P
) ( D  .^  X ) )  .x.  A ) )  =  (coe1 `  ( ( D 
.^  X )  .x.  A ) ) )
3912ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  R  e.  Ring )
40 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4140, 8, 3, 2coe1f 16572 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
4211, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
4342ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
4416ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  D  e.  NN0 )
45 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  x  e.  NN0 )
46 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  D  <_  x )
47 nn0sub2 10299 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0  /\  D  <_  x )  ->  (
x  -  D )  e.  NN0 )
4844, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
x  -  D )  e.  NN0 )
4943, 48ffvelrnd 5838 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  e.  (
Base `  R )
)
502, 10, 13rnglidm 15650 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
5139, 49, 50syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
5251ifeq1da 3732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  if ( D  <_  x ,  ( ( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) ) ) ,  .0.  )  =  if ( D  <_  x ,  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ,  .0.  ) )
5352mpteq2dva 4263 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) ) ,  .0.  ) ) )
5417, 38, 533eqtr3d 2452 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( ( D 
.^  X )  .x.  A ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    <_ cle 9085    - cmin 9255   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   .rcmulr 13493  Scalarcsca 13495   .scvsca 13496   0gc0g 13686   Mndcmnd 14647  .gcmg 14652  mulGrpcmgp 15611   Ringcrg 15623   1rcur 15625   LModclmod 15913  var1cv1 16533  Poly1cpl1 16534  coe1cco1 16537
This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  16635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541  df-coe1 16544
  Copyright terms: Public domain W3C validator