Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Unicode version

Theorem coe1pwmul 16565
 Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z
coe1pwmul.p Poly1
coe1pwmul.x var1
coe1pwmul.n mulGrp
coe1pwmul.e .g
coe1pwmul.b
coe1pwmul.t
coe1pwmul.r
coe1pwmul.a
coe1pwmul.d
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3
2 eqid 2366 . . 3
3 coe1pwmul.p . . 3 Poly1
4 coe1pwmul.x . . 3 var1
5 eqid 2366 . . 3
6 coe1pwmul.n . . 3 mulGrp
7 coe1pwmul.e . . 3 .g
8 coe1pwmul.b . . 3
9 coe1pwmul.t . . 3
10 eqid 2366 . . 3
11 coe1pwmul.a . . 3
12 coe1pwmul.r . . 3
13 eqid 2366 . . . . 5
142, 13rngidcl 15571 . . . 4
1512, 14syl 15 . . 3
16 coe1pwmul.d . . 3
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 16563 . 2 coe1 coe1
183ply1sca 16541 . . . . . . . 8 Scalar
1912, 18syl 15 . . . . . . 7 Scalar
2019fveq2d 5636 . . . . . 6 Scalar
2120oveq1d 5996 . . . . 5 Scalar
223ply1lmod 16540 . . . . . . 7
2312, 22syl 15 . . . . . 6
243ply1rng 16536 . . . . . . . 8
256rngmgp 15557 . . . . . . . 8
2612, 24, 253syl 18 . . . . . . 7
274, 3, 8vr1cl 16504 . . . . . . . 8
2812, 27syl 15 . . . . . . 7
296, 8mgpbas 15541 . . . . . . . 8
3029, 7mulgnn0cl 14793 . . . . . . 7
3126, 16, 28, 30syl3anc 1183 . . . . . 6
32 eqid 2366 . . . . . . 7 Scalar Scalar
33 eqid 2366 . . . . . . 7 Scalar Scalar
348, 32, 5, 33lmodvs1 15868 . . . . . 6 Scalar
3523, 31, 34syl2anc 642 . . . . 5 Scalar
3621, 35eqtrd 2398 . . . 4
3736oveq1d 5996 . . 3
3837fveq2d 5636 . 2 coe1 coe1
3912ad2antrr 706 . . . . 5
40 eqid 2366 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
4140, 8, 3, 2coe1f 16502 . . . . . . . 8 coe1
4211, 41syl 15 . . . . . . 7 coe1
4342ad2antrr 706 . . . . . 6 coe1
4416ad2antrr 706 . . . . . . 7
45 simplr 731 . . . . . . 7
46 simpr 447 . . . . . . 7
47 nn0sub2 10228 . . . . . . 7
4844, 45, 46, 47syl3anc 1183 . . . . . 6
49 ffvelrn 5770 . . . . . 6 coe1 coe1
5043, 48, 49syl2anc 642 . . . . 5 coe1
512, 10, 13rnglidm 15574 . . . . 5 coe1 coe1 coe1
5239, 50, 51syl2anc 642 . . . 4 coe1 coe1
5352ifeq1da 3679 . . 3 coe1 coe1
5453mpteq2dva 4208 . 2 coe1 coe1
5517, 38, 543eqtr3d 2406 1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1647   wcel 1715  cif 3654   class class class wbr 4125   cmpt 4179  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981   cle 9015   cmin 9184  cn0 10114  cbs 13356  cmulr 13417  Scalarcsca 13419  cvsca 13420  c0g 13610  cmnd 14571  .gcmg 14576  mulGrpcmgp 15535  crg 15547  cur 15549  clmod 15837  var1cv1 16461  Poly1cpl1 16462  coe1cco1 16465 This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  16566 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-coe1 16472
 Copyright terms: Public domain W3C validator