Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Structured version   Unicode version

Theorem coe1pwmul 16676
 Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z
coe1pwmul.p Poly1
coe1pwmul.x var1
coe1pwmul.n mulGrp
coe1pwmul.e .g
coe1pwmul.b
coe1pwmul.t
coe1pwmul.r
coe1pwmul.a
coe1pwmul.d
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3
2 eqid 2438 . . 3
3 coe1pwmul.p . . 3 Poly1
4 coe1pwmul.x . . 3 var1
5 eqid 2438 . . 3
6 coe1pwmul.n . . 3 mulGrp
7 coe1pwmul.e . . 3 .g
8 coe1pwmul.b . . 3
9 coe1pwmul.t . . 3
10 eqid 2438 . . 3
11 coe1pwmul.a . . 3
12 coe1pwmul.r . . 3
13 eqid 2438 . . . . 5
142, 13rngidcl 15689 . . . 4
1512, 14syl 16 . . 3
16 coe1pwmul.d . . 3
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 16674 . 2 coe1 coe1
183ply1sca 16652 . . . . . . . 8 Scalar
1912, 18syl 16 . . . . . . 7 Scalar
2019fveq2d 5735 . . . . . 6 Scalar
2120oveq1d 6099 . . . . 5 Scalar
223ply1lmod 16651 . . . . . . 7
2312, 22syl 16 . . . . . 6
243ply1rng 16647 . . . . . . . 8
256rngmgp 15675 . . . . . . . 8
2612, 24, 253syl 19 . . . . . . 7
274, 3, 8vr1cl 16616 . . . . . . . 8
2812, 27syl 16 . . . . . . 7
296, 8mgpbas 15659 . . . . . . . 8
3029, 7mulgnn0cl 14911 . . . . . . 7
3126, 16, 28, 30syl3anc 1185 . . . . . 6
32 eqid 2438 . . . . . . 7 Scalar Scalar
33 eqid 2438 . . . . . . 7 Scalar Scalar
348, 32, 5, 33lmodvs1 15983 . . . . . 6 Scalar
3523, 31, 34syl2anc 644 . . . . 5 Scalar
3621, 35eqtrd 2470 . . . 4
3736oveq1d 6099 . . 3
3837fveq2d 5735 . 2 coe1 coe1
3912ad2antrr 708 . . . . 5
40 eqid 2438 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
4140, 8, 3, 2coe1f 16614 . . . . . . . 8 coe1
4211, 41syl 16 . . . . . . 7 coe1
4342ad2antrr 708 . . . . . 6 coe1
4416ad2antrr 708 . . . . . . 7
45 simplr 733 . . . . . . 7
46 simpr 449 . . . . . . 7
47 nn0sub2 10340 . . . . . . 7
4844, 45, 46, 47syl3anc 1185 . . . . . 6
4943, 48ffvelrnd 5874 . . . . 5 coe1
502, 10, 13rnglidm 15692 . . . . 5 coe1 coe1 coe1
5139, 49, 50syl2anc 644 . . . 4 coe1 coe1
5251ifeq1da 3766 . . 3 coe1 coe1
5352mpteq2dva 4298 . 2 coe1 coe1
5417, 38, 533eqtr3d 2478 1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cif 3741   class class class wbr 4215   cmpt 4269  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cle 9126   cmin 9296  cn0 10226  cbs 13474  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  c0g 13728  cmnd 14689  .gcmg 14694  mulGrpcmgp 15653  crg 15665  cur 15667  clmod 15955  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579 This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  16677 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-coe1 16586
 Copyright terms: Public domain W3C validator