MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Structured version   Unicode version

Theorem coe1sfi 16612
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1sfi.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sfi.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sfi  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . . . 5  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1sfi.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sfi.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 df1o2 6738 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
5 nn0ex 10229 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
6 0ex 4341 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
84, 5, 6, 7mapsncnv 7062 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
91, 2, 3, 8coe1fval2 16610 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
109cnveqd 5050 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
1110imaeq1d 5204 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
13 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
14 coe1sfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
153, 2ply1bascl2 16604 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
163, 2elbasfv 13514 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
1712, 13, 14, 15, 16mplelsfi 16553 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
184, 5, 6, 7mapsnf1o2 7063 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
19 f1ocnv 5689 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o ) )
20 f1of1 5675 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0  ^m  1o ) )
2118, 19, 20mp2b 10 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o ) )
2317, 22suppfif1 7402 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2411, 23eqeltrd 2512 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   "cima 4883    o. ccom 4884   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1oc1o 6719    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   0gc0g 13725   mPoly cmpl 16410  Poly1cpl1 16573  coe1cco1 16576
This theorem is referenced by:  ply1coe  16686  plypf1  20133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-psr 16419  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580  df-coe1 16583
  Copyright terms: Public domain W3C validator