MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sfi Unicode version

Theorem coe1sfi 16293
Description: Finite support of univariate polynomial coefficient vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
coe1sfi.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1sfi.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1sfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
coe1sfi  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )

Proof of Theorem coe1sfi
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . . . 5  |-  A  =  (coe1 `  F )
2 coe1sfi.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 coe1sfi.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 df1o2 6491 . . . . . 6  |-  1o  =  { (/) }
5 nn0ex 9971 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
6 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
84, 5, 6, 7mapsncnv 6814 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
91, 2, 3, 8coe1fval2 16291 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
109cnveqd 4857 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
1110imaeq1d 5011 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
14 coe1sfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
153, 2ply1bascl2 16285 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
163, 2elbasfv 13191 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
1712, 13, 14, 15, 16mplelsfi 16232 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
184, 5, 6, 7mapsnf1o2 6815 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
19 f1ocnv 5485 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o ) )
20 f1of1 5471 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-onto-> ( NN0  ^m  1o )  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0  ^m  1o ) )
2118, 19, 20mp2b 9 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o )
2221a1i 10 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) : NN0 -1-1-> ( NN0 
^m  1o ) )
2317, 22suppfif1 7149 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2411, 23eqeltrd 2357 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   mPoly cmpl 16089  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255
This theorem is referenced by:  ply1coe  16368  plypf1  19594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-coe1 16262
  Copyright terms: Public domain W3C validator