MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1term Structured version   Unicode version

Theorem coe1term 20182
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
coe1term  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, N
Allowed substitution hints:    F( z)    M( z)

Proof of Theorem coe1term
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1term.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
21coe1termlem 20181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
)  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  /\  ( A  =/=  0  ->  (deg `  F )  =  N ) ) )
32simpld 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
(coeff `  F )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) )
43fveq1d 5733 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M ) )
543adant3 978 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
) )
6 simp3 960 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
7 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
8 0cn 9089 . . . 4  |-  0  e.  CC
9 ifcl 3777 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( M  =  N ,  A , 
0 )  e.  CC )
107, 8, 9sylancl 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
11 eqeq1 2444 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
n  =  N  <->  M  =  N ) )
1211ifbid 3759 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  if ( n  =  N ,  A ,  0 )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
13 eqid 2438 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )
1412, 13fvmptg 5807 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
156, 10, 14syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
)  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
165, 15eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ifcif 3741    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995    x. cmul 9000   NN0cn0 10226   ^cexp 11387  coeffccoe 20110  degcdgr 20111
This theorem is referenced by:  coeidp  20186  dgrcolem2  20197  plydivlem4  20218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115
  Copyright terms: Public domain W3C validator