MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1term Unicode version

Theorem coe1term 20130
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
coe1term  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, N
Allowed substitution hints:    F( z)    M( z)

Proof of Theorem coe1term
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1term.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
21coe1termlem 20129 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
)  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  /\  ( A  =/=  0  ->  (deg `  F )  =  N ) ) )
32simpld 446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
(coeff `  F )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) )
43fveq1d 5689 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M ) )
543adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
) )
6 simp3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
7 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
8 0cn 9040 . . . 4  |-  0  e.  CC
9 ifcl 3735 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( M  =  N ,  A , 
0 )  e.  CC )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
11 eqeq1 2410 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
n  =  N  <->  M  =  N ) )
1211ifbid 3717 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  if ( n  =  N ,  A ,  0 )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
13 eqid 2404 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )
1412, 13fvmptg 5763 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
156, 10, 14syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
)  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
165, 15eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ifcif 3699    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   ^cexp 11337  coeffccoe 20058  degcdgr 20059
This theorem is referenced by:  coeidp  20134  dgrcolem2  20145  plydivlem4  20166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
  Copyright terms: Public domain W3C validator