MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1term Unicode version

Theorem coe1term 19744
Description: The coefficient function of a monomial. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1term.1  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
coe1term  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, N
Allowed substitution hints:    F( z)    M( z)

Proof of Theorem coe1term
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1term.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
21coe1termlem 19743 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
)  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  /\  ( A  =/=  0  ->  (deg `  F )  =  N ) ) )
32simpld 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
(coeff `  F )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) )
43fveq1d 5610 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( (coeff `  F
) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M ) )
543adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
) )
6 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
7 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
8 0cn 8921 . . . 4  |-  0  e.  CC
9 ifcl 3677 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( M  =  N ,  A , 
0 )  e.  CC )
107, 8, 9sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
11 eqeq1 2364 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
n  =  N  <->  M  =  N ) )
1211ifbid 3659 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  if ( n  =  N ,  A ,  0 )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
13 eqid 2358 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) )
1412, 13fvmptg 5683 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  if ( M  =  N ,  A ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
156, 10, 14syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  N ,  A ,  0 ) ) `  M
)  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
165, 15eqtrd 2390 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  F ) `  M )  =  if ( M  =  N ,  A ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   ifcif 3641    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   0cc0 8827    x. cmul 8832   NN0cn0 10057   ^cexp 11197  coeffccoe 19672  degcdgr 19673
This theorem is referenced by:  coeidp  19748  dgrcolem2  19759  plydivlem4  19780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-0p 19129  df-ply 19674  df-coe 19676  df-dgr 19677
  Copyright terms: Public domain W3C validator