MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmfv2 Unicode version

Theorem coe1tmfv2 16400
Description: Zero coefficient of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmfv2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmfv2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmfv2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
coe1tmfv2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
coe1tmfv2.q  |-  ( ph  ->  D  =/=  F )
Assertion
Ref Expression
coe1tmfv2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  F
)  =  .0.  )

Proof of Theorem coe1tmfv2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmfv2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmfv2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
3 coe1tmfv2.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
4 coe1tm.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tm 16398 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )
) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )
) )
1312fveq1d 5565 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  F
)  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )
) `  F )
)
14 coe1tmfv2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
155, 4rng0cl 15411 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
161, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
17 ifcl 3635 . . . 4  |-  ( ( C  e.  K  /\  .0.  e.  K )  ->  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  )  e.  K )
182, 16, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  )  e.  K
)
19 eqeq1 2322 . . . . 5  |-  ( x  =  F  ->  (
x  =  D  <->  F  =  D ) )
2019ifbid 3617 . . . 4  |-  ( x  =  F  ->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )  =  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  ) )
21 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  )
)
2220, 21fvmptg 5638 . . 3  |-  ( ( F  e.  NN0  /\  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  )  e.  K )  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  ) ) `  F )  =  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  ) )
2314, 18, 22syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  =  D ,  C ,  .0.  ) ) `  F )  =  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  ) )
24 coe1tmfv2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  F )
2524necomd 2562 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  D )
2625neneqd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  F  =  D )
27 iffalse 3606 . . 3  |-  ( -.  F  =  D  ->  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  )  =  .0.  )
2826, 27syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  if ( F  =  D ,  C ,  .0.  )  =  .0.  )
2913, 23, 283eqtrd 2352 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  F
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   ifcif 3599    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   NN0cn0 10012   Basecbs 13195   .scvsca 13259   0gc0g 13449  .gcmg 14415  mulGrpcmgp 15374   Ringcrg 15386  var1cv1 16300  Poly1cpl1 16301  coe1cco1 16304
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  16401  coe1tmmul  16402  deg1tmle  19556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-psr 16147  df-mvr 16148  df-mpl 16149  df-opsr 16155  df-psr1 16306  df-vr1 16307  df-ply1 16308  df-coe1 16311
  Copyright terms: Public domain W3C validator