Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul Structured version   Unicode version

Theorem coe1tmmul 16671
 Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z
coe1tm.k
coe1tm.p Poly1
coe1tm.x var1
coe1tm.m
coe1tm.n mulGrp
coe1tm.e .g
coe1tmmul.b
coe1tmmul.t
coe1tmmul.u
coe1tmmul.a
coe1tmmul.r
coe1tmmul.c
coe1tmmul.d
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3
2 coe1tmmul.c . . . 4
3 coe1tmmul.d . . . 4
4 coe1tm.k . . . . 5
5 coe1tm.p . . . . 5 Poly1
6 coe1tm.x . . . . 5 var1
7 coe1tm.m . . . . 5
8 coe1tm.n . . . . 5 mulGrp
9 coe1tm.e . . . . 5 .g
10 coe1tmmul.b . . . . 5
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 16666 . . . 4
121, 2, 3, 11syl3anc 1185 . . 3
13 coe1tmmul.a . . 3
14 coe1tmmul.t . . . 4
15 coe1tmmul.u . . . 4
165, 14, 15, 10coe1mul 16665 . . 3 coe1 g coe1 coe1
171, 12, 13, 16syl3anc 1185 . 2 coe1 g coe1 coe1
18 eqeq2 2447 . . . 4 coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1
19 eqeq2 2447 . . . 4 coe1 g coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1
20 coe1tm.z . . . . . 6
211ad2antrr 708 . . . . . . 7
22 rngmnd 15675 . . . . . . 7
2321, 22syl 16 . . . . . 6
24 ovex 6108 . . . . . . 7
2524a1i 11 . . . . . 6
263ad2antrr 708 . . . . . . 7
27 simpr 449 . . . . . . 7
28 fznn0 11115 . . . . . . . 8
2928ad2antlr 709 . . . . . . 7
3026, 27, 29mpbir2and 890 . . . . . 6
311ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
3332, 10, 5, 4coe1f 16611 . . . . . . . . . . . 12 coe1
3412, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11 coe1
3534adantr 453 . . . . . . . . . 10 coe1
36 elfznn0 11085 . . . . . . . . . 10
37 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
3835, 36, 37syl2an 465 . . . . . . . . 9 coe1
39 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
4039, 10, 5, 4coe1f 16611 . . . . . . . . . . . 12 coe1
4113, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11 coe1
4241adantr 453 . . . . . . . . . 10 coe1
43 fznn0sub 11087 . . . . . . . . . 10
44 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
4542, 43, 44syl2an 465 . . . . . . . . 9 coe1
464, 15rngcl 15679 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1 coe1
4731, 38, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . . 8 coe1 coe1
48 eqid 2438 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1 coe1
4947, 48fmptd 5895 . . . . . . 7 coe1 coe1
5049adantr 453 . . . . . 6 coe1 coe1
511ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
522ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
533ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
54 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . 12
5554, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11
5655adantl 454 . . . . . . . . . 10
57 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . 12
5857necomd 2689 . . . . . . . . . . 11
5958adantl 454 . . . . . . . . . 10
6020, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 51, 52, 53, 56, 59coe1tmfv2 16669 . . . . . . . . 9 coe1
6160oveq1d 6098 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1
624, 15, 20rnglz 15702 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
6331, 45, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 coe1
6454, 63sylan2 462 . . . . . . . . 9 coe1
6564adantlr 697 . . . . . . . 8 coe1
6661, 65eqtrd 2470 . . . . . . 7 coe1 coe1
6766suppss2 6302 . . . . . 6 coe1 coe1
684, 20, 23, 25, 30, 50, 67gsumpt 15547 . . . . 5 g coe1 coe1 coe1 coe1
69 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
70 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
7170fveq2d 5734 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
7269, 71oveq12d 6101 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1 coe1
73 ovex 6108 . . . . . . . 8 coe1 coe1
7472, 48, 73fvmpt 5808 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
7530, 74syl 16 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
7620, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 16668 . . . . . . . . 9 coe1
771, 2, 3, 76syl3anc 1185 . . . . . . . 8 coe1
7877ad2antrr 708 . . . . . . 7 coe1
7978oveq1d 6098 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1
8075, 79eqtrd 2470 . . . . 5 coe1 coe1 coe1
8168, 80eqtrd 2470 . . . 4 g coe1 coe1 coe1
821ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
832ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
843ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10
8536adantl 454 . . . . . . . . . 10
86 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
88 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 88syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13
9089necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . 12
9190imp 420 . . . . . . . . . . 11
9291an32s 781 . . . . . . . . . 10
9320, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 82, 83, 84, 85, 92coe1tmfv2 16669 . . . . . . . . 9 coe1
9493oveq1d 6098 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1
9563adantlr 697 . . . . . . . 8 coe1
9694, 95eqtrd 2470 . . . . . . 7 coe1 coe1
9796mpteq2dva 4297 . . . . . 6 coe1 coe1
9897oveq2d 6099 . . . . 5 g coe1 coe1 g
991, 22syl 16 . . . . . . 7
10099ad2antrr 708 . . . . . 6
10124a1i 11 . . . . . 6
10220gsumz 14783 . . . . . 6 g
103100, 101, 102syl2anc 644 . . . . 5 g
10498, 103eqtrd 2470 . . . 4 g coe1 coe1
10518, 19, 81, 104ifbothda 3771 . . 3 g coe1 coe1 coe1
106105mpteq2dva 4297 . 2 g coe1 coe1 coe1
10717, 106eqtrd 2470 1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319  cif 3741  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992   cle 9123   cmin 9293  cn0 10223  cfz 11045  cbs 13471  cmulr 13532  cvsca 13535  c0g 13725   g cgsu 13726  cmnd 14686  .gcmg 14691  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  var1cv1 16572  Poly1cpl1 16573  coe1cco1 16576 This theorem is referenced by:  coe1pwmul  16673  coe1sclmul  16676 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-vr1 16579  df-ply1 16580  df-coe1 16583
 Copyright terms: Public domain W3C validator