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Theorem coe1tmmul2 16673
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
3 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
4 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
11 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 16669 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
131, 3, 4, 12syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
166, 14, 15, 11coe1mul 16668 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C 
.x.  ( D  .^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
171, 2, 13, 16syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2447 . . . 4  |-  ( ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
19 eqeq2 2447 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  ->  ( ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
20 coe1tm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Ring )
22 rngmnd 15678 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
26 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  <_  x )
274adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  NN0 )
28 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
29 nn0sub 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3027, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3126, 30mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  NN0 )
3227nn0ge0d 10282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  D )
33 nn0re 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
3433ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
354nn0red 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3635adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  RR )
3734, 36subge02d 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0  <_  D  <->  ( x  -  D )  <_  x ) )
3832, 37mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  <_  x )
39 fznn0 11118 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <->  ( (
x  -  D )  e.  NN0  /\  (
x  -  D )  <_  x ) ) )
4039ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <-> 
( ( x  -  D )  e.  NN0  /\  ( x  -  D
)  <_  x )
) )
4131, 38, 40mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  ( 0 ... x ) )
421ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4443, 11, 6, 5coe1f 16614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
47 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
4847adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
4946, 48ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
50 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
5150, 11, 6, 5coe1f 16614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5213, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5352ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
54 fznn0sub 11090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
5554adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
5653, 55ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  e.  K )
575, 15rngcl 15682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K  /\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  e.  K )  ->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) )  e.  K )
5842, 49, 56, 57syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
59 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )
6058, 59fmptd 5896 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
611ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
623ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  C  e.  K )
634ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  e.  NN0 )
64 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  y  e.  ( 0 ... x ) )
6564, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  ( x  -  y )  e.  NN0 )
6665adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  NN0 )
67 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  <-> 
( y  e.  ( 0 ... x )  /\  y  =/=  (
x  -  D ) ) )
68 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  CC )
7047nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  CC )
7170adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  CC )
7269, 71nncand 9421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  ( x  -  y ) )  =  y )
7372eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) )
74 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
x  -  D )  =  ( x  -  ( x  -  y
) ) )
7574eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
y  =  ( x  -  D )  <->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) ) )
7673, 75syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( D  =  ( x  -  y )  ->  y  =  ( x  -  D ) ) )
7776necon3d 2641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( y  =/=  ( x  -  D
)  ->  D  =/=  ( x  -  y
) ) )
7877impr 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... x
)  /\  y  =/=  ( x  -  D
) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
7967, 78sylan2b 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8020, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 61, 62, 63, 66, 79coe1tmfv2 16672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  .0.  )
8180oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
825, 15, 20rngrz 15706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8342, 49, 82syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8464, 83sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8581, 84eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
8685suppss2 6303 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( `' ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { ( x  -  D
) } )
875, 20, 23, 25, 41, 60, 86gsumpt 15550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) ) )
88 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
89 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  ( x  -  D
) ) )
9089fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  ( x  -  ( x  -  D ) ) ) )
9188, 90oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
92 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  e.  _V
9391, 59, 92fvmpt 5809 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9441, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) `  (
x  -  D ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9528nn0cnd 10281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
9627nn0cnd 10281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  CC )
9795, 96nncand 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  (
x  -  D ) )  =  D )
9897fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
993adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  C  e.  K )
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 16671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10121, 99, 27, 100syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10298, 101eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  C )
103102oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) )
10487, 94, 1033eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
105104anassrs 631 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
1061ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  R  e.  Ring )
1073ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  C  e.  K )
1084ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
10954ad2antll 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
11054nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  RR )
111110ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
11233ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  e.  RR )
11335ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  RR )
11447ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
115114nn0ge0d 10282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  0  <_  y )
11647nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  RR )
117116ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  RR )
118112, 117subge02d 9623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( x  -  y )  <_  x ) )
119115, 118mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  <_  x )
120 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  -.  D  <_  x )
121112, 113ltnled 9225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  <  D  <->  -.  D  <_  x ) )
122120, 121mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  <  D )
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 9233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  < 
D )
124111, 123gtned 9213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y
) )
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 16672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  =  .0.  )
126125oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
12745ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
128127, 114ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
129106, 128, 82syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
130126, 129eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
131130anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
132131mpteq2dva 4298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )
133132oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  .0.  )
) )
1341, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
13520gsumz 14786 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
136134, 24, 135sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
137136ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
138133, 137eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  )
13918, 19, 105, 138ifbothda 3771 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
140139mpteq2dva 4298 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
14117, 140eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ...cfz 11048   Basecbs 13474   .rcmulr 13535   .scvsca 13538   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729   Mndcmnd 14689  .gcmg 14694  mulGrpcmgp 15653   Ringcrg 15665  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  16675  coe1sclmul2  16681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-coe1 16586
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