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Theorem coe1tmmul2 16352
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, C    x, D    x, K    x,  .^    x, A    x, N    x, P    x, X    ph, x    x, R    x,  .x.    x,  .X.    x,  .xb
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 coe1tmmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
3 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
4 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
5 coe1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
6 coe1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 coe1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
8 coe1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
9 coe1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
10 coe1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
11 coe1tmmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 16348 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
131, 3, 4, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )
14 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
15 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
166, 14, 15, 11coe1mul 16347 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  ( C  .x.  ( D  .^  X ) )  e.  B )  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C 
.x.  ( D  .^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
171, 2, 13, 16syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) ) )
18 eqeq2 2292 . . . 4  |-  ( ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  ->  ( ( R 
gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
19 eqeq2 2292 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  ->  ( ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  <->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) )
20 coe1tm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Ring )
22 rngmnd 15350 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2321, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  R  e.  Mnd )
24 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... x )  e. 
_V
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0 ... x
)  e.  _V )
26 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  <_  x )
274adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  NN0 )
28 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
29 nn0sub 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( D  <_  x  <->  ( x  -  D )  e.  NN0 ) )
3126, 30mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  NN0 )
3227nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
0  <_  D )
33 nn0re 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
354nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
3635adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  RR )
3734, 36subge02d 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( 0  <_  D  <->  ( x  -  D )  <_  x ) )
3832, 37mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  <_  x )
39 fznn0 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <->  ( (
x  -  D )  e.  NN0  /\  (
x  -  D )  <_  x ) ) )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  <-> 
( ( x  -  D )  e.  NN0  /\  ( x  -  D
)  <_  x )
) )
4131, 38, 40mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  D
)  e.  ( 0 ... x ) )
421ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  R  e.  Ring )
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  A
)  =  (coe1 `  A
)
4443, 11, 6, 5coe1f 16292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
452, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  A ) : NN0 --> K )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
47 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  NN0 )
4847adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  NN0 )
49 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  A ) : NN0 --> K  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
51 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) )
5251, 11, 6, 5coe1f 16292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  .x.  ( D 
.^  X ) )  e.  B  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5313, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K )
55 fznn0sub 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  NN0 )
5655adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) : NN0 --> K  /\  ( x  -  y )  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `
 ( x  -  y ) )  e.  K )
5854, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  e.  K )
595, 15rngcl 15354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K  /\  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  e.  K )  ->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) )  e.  K )
6042, 50, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  e.  K
)
61 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )
6260, 61fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) : ( 0 ... x
) --> K )
631ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
643ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  C  e.  K )
654ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  e.  NN0 )
66 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  y  e.  ( 0 ... x ) )
6766, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  ->  ( x  -  y )  e.  NN0 )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  NN0 )
69 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 0 ... x )  \  { ( x  -  D ) } )  <-> 
( y  e.  ( 0 ... x )  /\  y  =/=  (
x  -  D ) ) )
70 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  NN0 )
7170nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  x  e.  CC )
7247nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  CC )
7372adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  e.  CC )
7471, 73nncand 9162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( x  -  ( x  -  y ) )  =  y )
7574eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) )
76 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
x  -  D )  =  ( x  -  ( x  -  y
) ) )
7776eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x  -  y )  ->  (
y  =  ( x  -  D )  <->  y  =  ( x  -  (
x  -  y ) ) ) )
7875, 77syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( D  =  ( x  -  y )  ->  y  =  ( x  -  D ) ) )
7978necon3d 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( y  =/=  ( x  -  D
)  ->  D  =/=  ( x  -  y
) ) )
8079impr 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  ( y  e.  ( 0 ... x
)  /\  y  =/=  ( x  -  D
) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8169, 80sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y ) )
8220, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 63, 64, 65, 68, 81coe1tmfv2 16351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  .0.  )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
845, 15, 20rngrz 15378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  A ) `  y )  e.  K
)  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8542, 50, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8666, 85sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
8783, 86eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  /\  y  e.  ( ( 0 ... x
)  \  { (
x  -  D ) } ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
8887suppss2 6073 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( `' ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { ( x  -  D
) } )
895, 20, 23, 25, 41, 62, 88gsumpt 15222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) ) )
90 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  A ) `  y )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) ) )
91 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
x  -  y )  =  ( x  -  ( x  -  D
) ) )
9291fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  ( x  -  ( x  -  D ) ) ) )
9390, 92oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  D )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
94 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  e.  _V
9593, 61, 94fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( x  -  D )  e.  ( 0 ... x )  ->  (
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) `  ( x  -  D
) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9641, 95syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( y  e.  ( 0 ... x
)  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y
)  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) ) ) ) `  (
x  -  D ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) ) )
9728nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
9827nn0cnd 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  D  e.  CC )
9997, 98nncand 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( x  -  (
x  -  D ) )  =  D )
10099fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D ) )
1013adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  ->  C  e.  K )
10220, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 16350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  D  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
10321, 101, 27, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  D
)  =  C )
104100, 103eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) )  =  C )
105104oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  ( x  -  D ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) )
10689, 96, 1053eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN0  /\  D  <_  x ) )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
107106anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  D  <_  x )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
x  -  D ) )  .X.  C )
)
1081ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  R  e.  Ring )
1093ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  C  e.  K )
1104ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
11155ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e. 
NN0 )
11255nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  (
x  -  y )  e.  RR )
113112ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
11433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  e.  RR )
11535ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  e.  RR )
11647ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  0  <_  y )
11847nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... x )  ->  y  e.  RR )
119118ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  y  e.  RR )
120114, 119subge02d 9364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( 0  <_  y  <->  ( x  -  y )  <_  x ) )
121117, 120mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  <_  x )
122 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  -.  D  <_  x )
123114, 115ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  <  D  <->  -.  D  <_  x ) )
124122, 123mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  x  <  D )
125113, 114, 115, 121, 124lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( x  -  y )  < 
D )
126113, 125gtned 8954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  D  =/=  ( x  -  y
) )
12720, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 108, 109, 110, 111, 126coe1tmfv2 16351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) `  ( x  -  y ) )  =  .0.  )
128127oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  ) )
12945ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  (coe1 `  A
) : NN0 --> K )
130129, 116, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (coe1 `  A ) `  y
)  e.  K )
131108, 130, 84syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
132128, 131eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  ( -.  D  <_  x  /\  y  e.  ( 0 ... x ) ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
133132anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  /\  y  e.  ( 0 ... x ) )  ->  ( (
(coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) )  =  .0.  )
134133mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )
135134oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  .0.  )
) )
1361, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
13720gsumz 14458 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... x
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
138136, 24, 137sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
139138ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
140135, 139eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  D  <_  x )  -> 
( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  .0.  )
14118, 19, 107, 140ifbothda 3595 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x )  |->  ( ( (coe1 `  A ) `  y )  .X.  (
(coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) )  =  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
142141mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN0  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  ( 0 ... x ) 
|->  ( ( (coe1 `  A
) `  y )  .X.  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( D  .^  X ) ) ) `  (
x  -  y ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
14317, 142eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337  var1cv1 16251  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  16354  coe1sclmul2  16360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262
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