Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2 Unicode version

Theorem coe1tmmul2 16562
 Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z
coe1tm.k
coe1tm.p Poly1
coe1tm.x var1
coe1tm.m
coe1tm.n mulGrp
coe1tm.e .g
coe1tmmul.b
coe1tmmul.t
coe1tmmul.u
coe1tmmul.a
coe1tmmul.r
coe1tmmul.c
coe1tmmul.d
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2 coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3
2 coe1tmmul.a . . 3
3 coe1tmmul.c . . . 4
4 coe1tmmul.d . . . 4
5 coe1tm.k . . . . 5
6 coe1tm.p . . . . 5 Poly1
7 coe1tm.x . . . . 5 var1
8 coe1tm.m . . . . 5
9 coe1tm.n . . . . 5 mulGrp
10 coe1tm.e . . . . 5 .g
11 coe1tmmul.b . . . . 5
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 16558 . . . 4
131, 3, 4, 12syl3anc 1183 . . 3
14 coe1tmmul.t . . . 4
15 coe1tmmul.u . . . 4
166, 14, 15, 11coe1mul 16557 . . 3 coe1 g coe1 coe1
171, 2, 13, 16syl3anc 1183 . 2 coe1 g coe1 coe1
18 eqeq2 2375 . . . 4 coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1
19 eqeq2 2375 . . . 4 coe1 g coe1 coe1 g coe1 coe1 coe1
20 coe1tm.z . . . . . . 7
211adantr 451 . . . . . . . 8
22 rngmnd 15560 . . . . . . . 8
2321, 22syl 15 . . . . . . 7
24 ovex 6006 . . . . . . . 8
2524a1i 10 . . . . . . 7
26 simprr 733 . . . . . . . . 9
274adantr 451 . . . . . . . . . 10
28 simprl 732 . . . . . . . . . 10
29 nn0sub 10163 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3126, 30mpbid 201 . . . . . . . 8
3227nn0ge0d 10170 . . . . . . . . 9
33 nn0re 10123 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10
354nn0red 10168 . . . . . . . . . . 11
3635adantr 451 . . . . . . . . . 10
3734, 36subge02d 9511 . . . . . . . . 9
3832, 37mpbid 201 . . . . . . . 8
39 fznn0 11004 . . . . . . . . 9
4039ad2antrl 708 . . . . . . . 8
4131, 38, 40mpbir2and 888 . . . . . . 7
421ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
43 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
4443, 11, 6, 5coe1f 16502 . . . . . . . . . . . 12 coe1
452, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11 coe1
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 coe1
47 elfznn0 10975 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 452 . . . . . . . . . 10
49 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9 coe1
51 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
5251, 11, 6, 5coe1f 16502 . . . . . . . . . . . 12 coe1
5313, 52syl 15 . . . . . . . . . . 11 coe1
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 coe1
55 fznn0sub 10977 . . . . . . . . . . 11
5655adantl 452 . . . . . . . . . 10
57 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
5854, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9 coe1
595, 15rngcl 15564 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1 coe1
6042, 50, 58, 59syl3anc 1183 . . . . . . . 8 coe1 coe1
61 eqid 2366 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1 coe1
6260, 61fmptd 5795 . . . . . . 7 coe1 coe1
631ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
643ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
654ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
66 eldifi 3385 . . . . . . . . . . . . 13
6766, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12
6867adantl 452 . . . . . . . . . . 11
69 eldifsn 3842 . . . . . . . . . . . 12
70 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170nn0cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7247nn0cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7471, 73nncand 9309 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574eqcomd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . . 15
7875, 77syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14
7978necon3d 2567 . . . . . . . . . . . . 13
8079impr 602 . . . . . . . . . . . 12
8169, 80sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11
8220, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 63, 64, 65, 68, 81coe1tmfv2 16561 . . . . . . . . . 10 coe1
8382oveq2d 5997 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1
845, 15, 20rngrz 15588 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
8542, 50, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 coe1
8666, 85sylan2 460 . . . . . . . . 9 coe1
8783, 86eqtrd 2398 . . . . . . . 8 coe1 coe1
8887suppss2 6200 . . . . . . 7 coe1 coe1
895, 20, 23, 25, 41, 62, 88gsumpt 15432 . . . . . 6 g coe1 coe1 coe1 coe1
90 fveq2 5632 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
91 oveq2 5989 . . . . . . . . . 10
9291fveq2d 5636 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
9390, 92oveq12d 5999 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1 coe1
94 ovex 6006 . . . . . . . 8 coe1 coe1
9593, 61, 94fvmpt 5709 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 coe1
9641, 95syl 15 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 coe1
9728nn0cnd 10169 . . . . . . . . . 10
9827nn0cnd 10169 . . . . . . . . . 10
9997, 98nncand 9309 . . . . . . . . 9
10099fveq2d 5636 . . . . . . . 8 coe1 coe1
1013adantr 451 . . . . . . . . 9
10220, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 16560 . . . . . . . . 9 coe1
10321, 101, 27, 102syl3anc 1183 . . . . . . . 8 coe1
104100, 103eqtrd 2398 . . . . . . 7 coe1
105104oveq2d 5997 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1
10689, 96, 1053eqtrd 2402 . . . . 5 g coe1 coe1 coe1
107106anassrs 629 . . . 4 g coe1 coe1 coe1
1081ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
1093ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
1104ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
11155ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11
11255nn0red 10168 . . . . . . . . . . . . 13
113112ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12
11433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13
11535ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
11647ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116nn0ge0d 10170 . . . . . . . . . . . . . 14
11847nn0red 10168 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
120114, 119subge02d 9511 . . . . . . . . . . . . . 14
121117, 120mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
122 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
123114, 115ltnled 9113 . . . . . . . . . . . . . 14
124122, 123mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
125113, 114, 115, 121, 124lelttrd 9121 . . . . . . . . . . . 12
126113, 125gtned 9101 . . . . . . . . . . 11
12720, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 108, 109, 110, 111, 126coe1tmfv2 16561 . . . . . . . . . 10 coe1
128127oveq2d 5997 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1
12945ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 coe1
130129, 116, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 coe1
131108, 130, 84syl2anc 642 . . . . . . . . 9 coe1
132128, 131eqtrd 2398 . . . . . . . 8 coe1 coe1
133132anassrs 629 . . . . . . 7 coe1 coe1
134133mpteq2dva 4208 . . . . . 6 coe1 coe1
135134oveq2d 5997 . . . . 5 g coe1 coe1 g
1361, 22syl 15 . . . . . . 7
13720gsumz 14668 . . . . . . 7 g
138136, 24, 137sylancl 643 . . . . . 6 g
139138ad2antrr 706 . . . . 5 g
140135, 139eqtrd 2398 . . . 4 g coe1 coe1
14118, 19, 107, 140ifbothda 3684 . . 3 g coe1 coe1 coe1
142141mpteq2dva 4208 . 2 g coe1 coe1 coe1
14317, 142eqtrd 2398 1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  cvv 2873   cdif 3235  cif 3654  csn 3729   class class class wbr 4125   cmpt 4179  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cc 8882  cr 8883  cc0 8884   clt 9014   cle 9015   cmin 9184  cn0 10114  cfz 10935  cbs 13356  cmulr 13417  cvsca 13420  c0g 13610   g cgsu 13611  cmnd 14571  .gcmg 14576  mulGrpcmgp 15535  crg 15547  var1cv1 16461  Poly1cpl1 16462  coe1cco1 16465 This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  16564  coe1sclmul2  16570 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-coe1 16472
 Copyright terms: Public domain W3C validator