Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Structured version   Unicode version

Theorem coe1tmmul2fv 16662
 Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z
coe1tm.k
coe1tm.p Poly1
coe1tm.x var1
coe1tm.m
coe1tm.n mulGrp
coe1tm.e .g
coe1tmmul.b
coe1tmmul.t
coe1tmmul.u
coe1tmmul.a
coe1tmmul.r
coe1tmmul.c
coe1tmmul.d
coe1tmmul2fv.y
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv coe1 coe1

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4
2 coe1tm.k . . . 4
3 coe1tm.p . . . 4 Poly1
4 coe1tm.x . . . 4 var1
5 coe1tm.m . . . 4
6 coe1tm.n . . . 4 mulGrp
7 coe1tm.e . . . 4 .g
8 coe1tmmul.b . . . 4
9 coe1tmmul.t . . . 4
10 coe1tmmul.u . . . 4
11 coe1tmmul.a . . . 4
12 coe1tmmul.r . . . 4
13 coe1tmmul.c . . . 4
14 coe1tmmul.d . . . 4
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 16660 . . 3 coe1 coe1
1615fveq1d 5722 . 2 coe1 coe1
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5
1814, 17nn0addcld 10270 . . . 4
19 breq2 4208 . . . . . 6
20 oveq1 6080 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5724 . . . . . . 7 coe1 coe1
2221oveq1d 6088 . . . . . 6 coe1 coe1
23 eqidd 2436 . . . . . 6
2419, 22, 23ifbieq12d 3753 . . . . 5 coe1 coe1
25 eqid 2435 . . . . 5 coe1 coe1
26 ovex 6098 . . . . . 6 coe1
27 fvex 5734 . . . . . . 7
281, 27eqeltri 2505 . . . . . 6
2926, 28ifex 3789 . . . . 5 coe1
3024, 25, 29fvmpt 5798 . . . 4 coe1 coe1
3118, 30syl 16 . . 3 coe1 coe1
3214nn0red 10267 . . . . 5
33 nn0addge1 10258 . . . . 5
3432, 17, 33syl2anc 643 . . . 4
35 iftrue 3737 . . . 4 coe1 coe1
3634, 35syl 16 . . 3 coe1 coe1
3714nn0cnd 10268 . . . . . 6
3817nn0cnd 10268 . . . . . 6
3937, 38pncan2d 9405 . . . . 5
4039fveq2d 5724 . . . 4 coe1 coe1
4140oveq1d 6088 . . 3 coe1 coe1
4231, 36, 413eqtrd 2471 . 2 coe1 coe1
4316, 42eqtrd 2467 1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  cif 3731   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981   caddc 8985   cle 9113   cmin 9283  cn0 10213  cbs 13461  cmulr 13522  cvsca 13525  c0g 13715  .gcmg 14681  mulGrpcmgp 15640  crg 15652  var1cv1 16562  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566 This theorem is referenced by:  ply1divex  20051 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573
 Copyright terms: Public domain W3C validator