MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Unicode version

Theorem coe1tmmul2fv 16597
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
coe1tmmul2fv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2 coe1tm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 coe1tm.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 coe1tm.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
5 coe1tm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 coe1tm.n . . . 4  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 coe1tm.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 coe1tmmul.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
10 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
11 coe1tmmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 coe1tmmul.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
14 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 16595 . . 3  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
1615fveq1d 5670 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
) )
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
1814, 17nn0addcld 10210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  +  Y
)  e.  NN0 )
19 breq2 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  ( D  +  Y ) ) )
20 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
x  -  D )  =  ( ( D  +  Y )  -  D ) )
2120fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) ) )
2221oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
23 eqidd 2388 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  .0.  =  .0.  )
2419, 22, 23ifbieq12d 3704 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
25 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )
26 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
)  e.  _V
27 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
281, 27eqeltri 2457 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2926, 28ifex 3740 . . . . 5  |-  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  e.  _V
3024, 25, 29fvmpt 5745 . . . 4  |-  ( ( D  +  Y )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3118, 30syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3214nn0red 10207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
33 nn0addge1 10198 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR  /\  Y  e.  NN0 )  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
3432, 17, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
35 iftrue 3688 . . . 4  |-  ( D  <_  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  ( (
(coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
( D  +  Y
)  -  D ) )  .X.  C )
)
3714nn0cnd 10208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3817nn0cnd 10208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3937, 38pncan2d 9345 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  Y )  -  D
)  =  Y )
4039fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  Y ) )
4140oveq1d 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
4231, 36, 413eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  ( ( (coe1 `  A
) `  Y )  .X.  C ) )
4316, 42eqtrd 2419 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   ifcif 3682   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922    + caddc 8926    <_ cle 9054    - cmin 9223   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   .rcmulr 13457   .scvsca 13460   0gc0g 13650  .gcmg 14616  mulGrpcmgp 15575   Ringcrg 15587  var1cv1 16497  Poly1cpl1 16498  coe1cco1 16501
This theorem is referenced by:  ply1divex  19926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-psr 16344  df-mvr 16345  df-mpl 16346  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-vr1 16504  df-ply1 16505  df-coe1 16508
  Copyright terms: Public domain W3C validator