MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Structured version   Unicode version

Theorem coe1tmmul2fv 16662
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
coe1tmmul2fv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2 coe1tm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 coe1tm.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 coe1tm.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
5 coe1tm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 coe1tm.n . . . 4  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 coe1tm.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 coe1tmmul.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
10 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
11 coe1tmmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 coe1tmmul.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
14 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 16660 . . 3  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
1615fveq1d 5722 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
) )
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
1814, 17nn0addcld 10270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  +  Y
)  e.  NN0 )
19 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  ( D  +  Y ) ) )
20 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
x  -  D )  =  ( ( D  +  Y )  -  D ) )
2120fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) ) )
2221oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
23 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  .0.  =  .0.  )
2419, 22, 23ifbieq12d 3753 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
25 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )
26 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
)  e.  _V
27 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
281, 27eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2926, 28ifex 3789 . . . . 5  |-  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  e.  _V
3024, 25, 29fvmpt 5798 . . . 4  |-  ( ( D  +  Y )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3118, 30syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3214nn0red 10267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
33 nn0addge1 10258 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR  /\  Y  e.  NN0 )  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
3432, 17, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
35 iftrue 3737 . . . 4  |-  ( D  <_  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  ( (
(coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
( D  +  Y
)  -  D ) )  .X.  C )
)
3714nn0cnd 10268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3817nn0cnd 10268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3937, 38pncan2d 9405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  Y )  -  D
)  =  Y )
4039fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  Y ) )
4140oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
4231, 36, 413eqtrd 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  ( ( (coe1 `  A
) `  Y )  .X.  C ) )
4316, 42eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   .scvsca 13525   0gc0g 13715  .gcmg 14681  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652  var1cv1 16562  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566
This theorem is referenced by:  ply1divex  20051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573
  Copyright terms: Public domain W3C validator