MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Unicode version

Theorem coe1tmmul2fv 16354
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
coe1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
coe1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
coe1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
coe1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
coe1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
coe1tmmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
coe1tmmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
coe1tmmul.u  |-  .X.  =  ( .r `  R )
coe1tmmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
coe1tmmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
coe1tmmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
coe1tmmul.d  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
coe1tmmul2fv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2 coe1tm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 coe1tm.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 coe1tm.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  R )
5 coe1tm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 coe1tm.n . . . 4  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 coe1tm.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 coe1tmmul.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 coe1tmmul.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  P )
10 coe1tmmul.u . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
11 coe1tmmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 coe1tmmul.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 coe1tmmul.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
14 coe1tmmul.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 16352 . . 3  |-  ( ph  ->  (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) )
1615fveq1d 5527 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
) )
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  NN0 )
1814, 17nn0addcld 10022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  +  Y
)  e.  NN0 )
19 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  ( D  <_  x  <->  D  <_  ( D  +  Y ) ) )
20 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
x  -  D )  =  ( ( D  +  Y )  -  D ) )
2120fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
(coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) ) )
2221oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  (
( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
23 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  .0.  =  .0.  )
2419, 22, 23ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
25 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) )
26 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
)  e.  _V
27 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
281, 27eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  .0.  e.  _V
2926, 28ifex 3623 . . . . 5  |-  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  e.  _V
3024, 25, 29fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( ( D  +  Y )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( D  <_  x , 
( ( (coe1 `  A
) `  ( x  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3118, 30syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
)
3214nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
33 nn0addge1 10010 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR  /\  Y  e.  NN0 )  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
3432, 17, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  <_  ( D  +  Y ) )
35 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( D  <_  ( D  +  Y )  ->  if ( D  <_  ( D  +  Y ) ,  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C ) ,  .0.  )  =  ( (
(coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) )
3634, 35syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( D  <_ 
( D  +  Y
) ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  (
( D  +  Y
)  -  D ) )  .X.  C )
)
3714nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3817nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3937, 38pncan2d 9159 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  Y )  -  D
)  =  Y )
4039fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  A ) `  ( ( D  +  Y )  -  D
) )  =  ( (coe1 `  A ) `  Y ) )
4140oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  A
) `  ( ( D  +  Y )  -  D ) )  .X.  C )  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
4231, 36, 413eqtrd 2319 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( D  <_  x ,  ( ( (coe1 `  A ) `  ( x  -  D
) )  .X.  C
) ,  .0.  )
) `  ( D  +  Y ) )  =  ( ( (coe1 `  A
) `  Y )  .X.  C ) )
4316, 42eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( A  .xb  ( C  .x.  ( D 
.^  X ) ) ) ) `  ( D  +  Y )
)  =  ( ( (coe1 `  A ) `  Y )  .X.  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   0gc0g 13400  .gcmg 14366  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337  var1cv1 16251  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255
This theorem is referenced by:  ply1divex  19522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262
  Copyright terms: Public domain W3C validator