MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Unicode version

Theorem coe1z 16389
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
coe1z.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1z  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5468 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
3 nn0ex 10018 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
4 1on 6528 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
54elexi 2831 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
63, 5elmap 6839 . . . 4  |-  ( ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
a } ) : 1o --> NN0 )
72, 6sylibr 203 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
8 eqidd 2317 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )
9 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
10 psr1baslem 16313 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' c
" NN )  e. 
Fin }
11 coe1z.y . . . . 5  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
12 coe1z.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
13 coe1z.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
149, 12, 13ply1mpl0 16382 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
154a1i 10 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
16 rnggrp 15395 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
179, 10, 11, 14, 15, 16mpl0 16234 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y } ) )
18 fconstmpt 4769 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y }
)  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  Y )
1917, 18syl6eq 2364 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  Y ) )
20 eqidd 2317 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { a } )  ->  Y  =  Y )
217, 8, 19, 20fmptco 5729 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
2212ply1rng 16375 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
23 eqid 2316 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2423, 13rng0cl 15411 . . 3  |-  ( P  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  P )
)
25 eqid 2316 . . . 4  |-  (coe1 `  .0.  )  =  (coe1 `  .0.  )
26 eqid 2316 . . . 4  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2725, 23, 12, 26coe1fval2 16340 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
2822, 24, 273syl 18 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
29 fconstmpt 4769 . . 3  |-  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y )
3029a1i 10 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2358 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {csn 3674    e. cmpt 4114   Oncon0 4429    X. cxp 4724    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1oc1o 6514    ^m cmap 6815   NN0cn0 10012   Basecbs 13195   0gc0g 13449   Ringcrg 15386   mPoly cmpl 16138  Poly1cpl1 16301  coe1cco1 16304
This theorem is referenced by:  fta1blem  19607  hbtlem2  26476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-subrg 15592  df-psr 16147  df-mpl 16149  df-opsr 16155  df-psr1 16306  df-ply1 16308  df-coe1 16311
  Copyright terms: Public domain W3C validator