MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Unicode version

Theorem coe1z 16656
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
coe1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
coe1z.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
coe1z  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5632 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( 1o 
X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } ) : 1o --> NN0 )
3 nn0ex 10227 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
4 1on 6731 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
54elexi 2965 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
63, 5elmap 7042 . . . 4  |-  ( ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
a } ) : 1o --> NN0 )
72, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( 1o  X.  { a } )  e.  ( NN0 
^m  1o ) )
8 eqidd 2437 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) ) )
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
10 psr1baslem 16583 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { c  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' c
" NN )  e. 
Fin }
11 coe1z.y . . . . 5  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
12 coe1z.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
13 coe1z.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
149, 12, 13ply1mpl0 16649 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
154a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
16 rnggrp 15669 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
179, 10, 11, 14, 15, 16mpl0 16504 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y } ) )
18 fconstmpt 4921 . . . 4  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  X.  { Y }
)  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  Y )
1917, 18syl6eq 2484 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  Y ) )
20 eqidd 2437 . . 3  |-  ( b  =  ( 1o  X.  { a } )  ->  Y  =  Y )
217, 8, 19, 20fmptco 5901 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
o.  ( a  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
2212ply1rng 16642 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
23 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2423, 13rng0cl 15685 . . 3  |-  ( P  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  P )
)
25 eqid 2436 . . . 4  |-  (coe1 `  .0.  )  =  (coe1 `  .0.  )
26 eqid 2436 . . . 4  |-  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )  =  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o 
X.  { a } ) )
2725, 23, 12, 26coe1fval2 16608 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
2822, 24, 273syl 19 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  (  .0.  o.  ( a  e.  NN0  |->  ( 1o  X.  { a } ) ) ) )
29 fconstmpt 4921 . . 3  |-  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y )
3029a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( NN0 
X.  { Y }
)  =  ( a  e.  NN0  |->  Y ) )
3121, 28, 303eqtr4d 2478 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  .0.  )  =  ( NN0  X. 
{ Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814    e. cmpt 4266   Oncon0 4581    X. cxp 4876    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   0gc0g 13723   Ringcrg 15660   mPoly cmpl 16408  Poly1cpl1 16571  coe1cco1 16574
This theorem is referenced by:  fta1blem  20091  hbtlem2  27305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-coe1 16581
  Copyright terms: Public domain W3C validator