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Theorem coeeq2 20118
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrle.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dgrle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
dgrle.4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeq2  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, k, N    ph, k, z
Allowed substitution hints:    A( k)    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 dgrle.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  ph )
4 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  <_  N )
5 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  NN0 )
6 nn0uz 10480 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
82nn0zd 10333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
98ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
10 elfz5 11011 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
117, 9, 10syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
124, 11mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
13 dgrle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
143, 12, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <_  N )  ->  A  e.  CC )
15 0cn 9044 . . . . 5  |-  0  e.  CC
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  -.  k  <_  N )  -> 
0  e.  CC )
1714, 16ifclda 3730 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
18 eqid 2408 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
1917, 18fmptd 5856 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) : NN0 --> CC )
20 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
2118fvmpt2 5775 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  <_  N ,  A , 
0 ) )
2220, 17, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
2322neeq1d 2584 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  <->  if (
k  <_  N ,  A ,  0 )  =/=  0 ) )
24 iffalse 3710 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  0 )
2524necon1ai 2613 . . . . . 6  |-  ( if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =/=  0  ->  k  <_  N )
2623, 25syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
2726ralrimiva 2753 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
28 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ m
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
29 nffvmpt1 5699 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )
30 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ k
0
3129, 30nfne 2662 . . . . . 6  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =/=  0
32 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ k  m  <_  N
3331, 32nfim 1828 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N )
34 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
3534neeq1d 2584 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0 ) )
36 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
k  <_  N  <->  m  <_  N ) )
3735, 36imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  ( (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
3828, 33, 37cbvral 2892 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
3927, 38sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
40 plyco0 20068 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
412, 19, 40syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
4239, 41mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
43 dgrle.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
44 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ m
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )
45 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ k  x.
46 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( z ^ m
)
4729, 45, 46nfov 6067 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) )
48 oveq2 6052 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
m ) )
4934, 48oveq12d 6062 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) )
5044, 47, 49cbvsumi 12450 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) )
51 elfznn0 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
5251adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
53 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  <_  N )
55 iftrue 3709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  A )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  A )
5713adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
5856, 57eqeltrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  e.  CC )
5952, 58, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
6059, 56eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  A )
6160oveq1d 6059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( A  x.  ( z ^ k ) ) )
6261sumeq2dv 12456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  x.  ( z ^
k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  (
z ^ k ) ) )
6350, 62syl5eqr 2454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  (
z ^ k ) ) )
6463mpteq2dva 4259 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) ) )
6543, 64eqtr4d 2443 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
661, 2, 19, 42, 65coeeq 20103 1  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   ifcif 3703   {csn 3778   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   "cima 4844   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    <_ cle 9081   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003   ^cexp 11341   sum_csu 12438  Polycply 20060  coeffccoe 20062
This theorem is referenced by:  dgrle  20119  aareccl  20200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-0p 19519  df-ply 20064  df-coe 20066
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