Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Unicode version

Theorem coeeq2 19839
 Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 Poly
dgrle.2
dgrle.3
dgrle.4
Assertion
Ref Expression
coeeq2 coeff
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 Poly
2 dgrle.2 . 2
3 simpll 730 . . . . 5
4 simpr 447 . . . . . 6
5 simplr 731 . . . . . . . 8
6 nn0uz 10413 . . . . . . . 8
75, 6syl6eleq 2456 . . . . . . 7
82nn0zd 10266 . . . . . . . 8
98ad2antrr 706 . . . . . . 7
10 elfz5 10943 . . . . . . 7
117, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6
124, 11mpbird 223 . . . . 5
13 dgrle.3 . . . . 5
143, 12, 13syl2anc 642 . . . 4
15 0cn 8978 . . . . 5
1615a1i 10 . . . 4
1714, 16ifclda 3681 . . 3
18 eqid 2366 . . 3
1917, 18fmptd 5795 . 2
20 simpr 447 . . . . . . . 8
2118fvmpt2 5715 . . . . . . . 8
2220, 17, 21syl2anc 642 . . . . . . 7
2322neeq1d 2542 . . . . . 6
24 iffalse 3661 . . . . . . 7
2524necon1ai 2571 . . . . . 6
2623, 25syl6bi 219 . . . . 5
2726ralrimiva 2711 . . . 4
28 nfv 1624 . . . . 5
29 nfmpt1 4211 . . . . . . . 8
30 nfcv 2502 . . . . . . . 8
3129, 30nffv 5639 . . . . . . 7
32 nfcv 2502 . . . . . . 7
3331, 32nfne 2620 . . . . . 6
34 nfv 1624 . . . . . 6
3533, 34nfim 1820 . . . . 5
36 fveq2 5632 . . . . . . 7
3736neeq1d 2542 . . . . . 6
38 breq1 4128 . . . . . 6
3937, 38imbi12d 311 . . . . 5
4028, 35, 39cbvral 2845 . . . 4
4127, 40sylib 188 . . 3
42 plyco0 19789 . . . 4
432, 19, 42syl2anc 642 . . 3
4441, 43mpbird 223 . 2
45 dgrle.4 . . 3
46 nfcv 2502 . . . . . 6
47 nfcv 2502 . . . . . . 7
48 nfcv 2502 . . . . . . 7
4931, 47, 48nfov 6004 . . . . . 6
50 oveq2 5989 . . . . . . 7
5136, 50oveq12d 5999 . . . . . 6
5246, 49, 51cbvsumi 12378 . . . . 5
53 elfznn0 10975 . . . . . . . . . 10
5453adantl 452 . . . . . . . . 9
55 elfzle2 10953 . . . . . . . . . . . 12
5655adantl 452 . . . . . . . . . . 11
57 iftrue 3660 . . . . . . . . . . 11
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . 10
5913adantlr 695 . . . . . . . . . 10
6058, 59eqeltrd 2440 . . . . . . . . 9
6154, 60, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8
6261, 58eqtrd 2398 . . . . . . 7
6362oveq1d 5996 . . . . . 6
6463sumeq2dv 12384 . . . . 5
6552, 64syl5eqr 2412 . . . 4
6665mpteq2dva 4208 . . 3
6745, 66eqtr4d 2401 . 2
681, 2, 19, 44, 67coeeq 19824 1 coeff
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  wral 2628  cif 3654  csn 3729   class class class wbr 4125   cmpt 4179  cima 4795  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cc 8882  cc0 8884  c1 8885   caddc 8887   cmul 8889   cle 9015  cn0 10114  cz 10175  cuz 10381  cfz 10935  cexp 11269  csu 12366  Polycply 19781  coeffccoe 19783 This theorem is referenced by:  dgrle  19840  aareccl  19921 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-0p 19240  df-ply 19785  df-coe 19787
 Copyright terms: Public domain W3C validator