Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeu Structured version   Unicode version

Theorem coeeu 20144
 Description: Uniqueness of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
coeeu Poly
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem coeeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 20119 . . . . 5 Poly Poly
21sseli 3344 . . . 4 Poly Poly
3 elply2 20115 . . . . . 6 Poly
43simprbi 451 . . . . 5 Poly
5 rexcom 2869 . . . . 5
64, 5sylib 189 . . . 4 Poly
72, 6syl 16 . . 3 Poly
8 0cn 9084 . . . . . . 7
9 snssi 3942 . . . . . . 7
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6
11 ssequn2 3520 . . . . . 6
1210, 11mpbi 200 . . . . 5
1312oveq1i 6091 . . . 4
1413rexeqi 2909 . . 3
157, 14sylib 189 . 2 Poly
16 reeanv 2875 . . . 4
17 simp1l 981 . . . . . . 7 Poly Poly
18 simp1rl 1022 . . . . . . 7 Poly
19 simp1rr 1023 . . . . . . 7 Poly
20 simp2l 983 . . . . . . 7 Poly
21 simp2r 984 . . . . . . 7 Poly
22 simp3ll 1028 . . . . . . 7 Poly
23 simp3rl 1030 . . . . . . 7 Poly
24 simp3lr 1029 . . . . . . . 8 Poly
25 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
2625oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
2726sumeq2sdv 12498 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
29 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
3130cbvsumv 12490 . . . . . . . . . 10
3227, 31syl6eq 2484 . . . . . . . . 9
3332cbvmptv 4300 . . . . . . . 8
3424, 33syl6eq 2484 . . . . . . 7 Poly
35 simp3rr 1031 . . . . . . . 8 Poly
3625oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
3736sumeq2sdv 12498 . . . . . . . . . 10
38 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
3938, 29oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11
4039cbvsumv 12490 . . . . . . . . . 10
4137, 40syl6eq 2484 . . . . . . . . 9
4241cbvmptv 4300 . . . . . . . 8
4335, 42syl6eq 2484 . . . . . . 7 Poly
4417, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 34, 43coeeulem 20143 . . . . . 6 Poly
45443expia 1155 . . . . 5 Poly
4645rexlimdvva 2837 . . . 4 Poly
4716, 46syl5bir 210 . . 3 Poly
4847ralrimivva 2798 . 2 Poly
49 imaeq1 5198 . . . . . . 7
5049eqeq1d 2444 . . . . . 6
51 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10
5251oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
5352sumeq2sdv 12498 . . . . . . . 8
5453mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
5554eqeq2d 2447 . . . . . 6
5650, 55anbi12d 692 . . . . 5
5756rexbidv 2726 . . . 4
58 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5732 . . . . . . . 8
6059imaeq2d 5203 . . . . . . 7
6160eqeq1d 2444 . . . . . 6
62 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
6362sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
6463mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
6564eqeq2d 2447 . . . . . 6
6661, 65anbi12d 692 . . . . 5
6766cbvrexv 2933 . . . 4
6857, 67syl6bb 253 . . 3
6968reu4 3128 . 2
7015, 48, 69sylanbrc 646 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707   cun 3318   wss 3320  csn 3814   cmpt 4266  cima 4881  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995  cn0 10221  cuz 10488  cfz 11043  cexp 11382  csu 12479  Polycply 20103 This theorem is referenced by:  coelem  20145  coeeq  20146 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562  df-ply 20107
 Copyright terms: Public domain W3C validator