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Theorem coeeulem 20143
Description: Lemma for coeeu 20144. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
coeeu.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
coeeu.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
coeeu.6  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.7  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.8  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
coeeu.9  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeulem  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    z, k, B    ph, k, z    A, k, z    k, M, z   
k, N, z
Allowed substitution hints:    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3367 . . . 4  |-  CC  C_  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 coeeu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 coeeu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
53, 4nn0addcld 10278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
6 subcl 9305 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  CC )
8 coeeu.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
9 cnex 9071 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
10 nn0ex 10227 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
119, 10elmap 7042 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> CC )
128, 11sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 coeeu.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
149, 10elmap 7042 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> CC )
1513, 14sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
1610a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
17 inidm 3550 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
187, 12, 15, 16, 16, 17off 6320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
199, 10elmap 7042 . . . . 5  |-  ( ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
2018, 19sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 ) )
21 0cn 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 snssi 3942 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  { 0 }  C_  CC )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  CC
24 ssequn2 3520 . . . . . 6  |-  ( { 0 }  C_  CC  <->  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC )
2523, 24mpbi 200 . . . . 5  |-  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC
2625oveq1i 6091 . . . 4  |-  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  =  ( CC  ^m 
NN0 )
2720, 26syl6eleqr 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
285nn0red 10275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
29 nn0re 10230 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
30 ltnle 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
32 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
3312, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
34 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
36 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
37 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3833, 35, 16, 16, 17, 36, 37ofval 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  -  ( B `  k ) ) )
3938adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
403nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  e.  RR )
4228adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
4329adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
4443adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
k  e.  RR )
453nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
464nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4745, 46addcomd 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
48 nn0uz 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
494, 48syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
503nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
51 eluzadd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5347, 52eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5445addid2d 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
5554fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
5653, 55eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
57 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  <  k )
6141, 42, 44, 59, 60lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <  k )
6241, 44ltnled 9220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  <  k  <->  -.  k  <_  M )
)
6361, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  M )
64 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
65 plyco0 20111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) ) )
663, 12, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
) )
6764, 66mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
6867r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) )
6968adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
7069necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  M  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
7163, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
724nn0red 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  e.  RR )
743, 48syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
754nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
76 eluzadd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N
) ) )
7846addid2d 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
8077, 79eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
81 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8473, 42, 44, 83, 60lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <  k )
8573, 44ltnled 9220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( N  <  k  <->  -.  k  <_  N )
)
8684, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  N )
87 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
88 plyco0 20111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
894, 15, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
9087, 89mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9190r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
9291adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9392necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  N  ->  ( B `  k )  =  0 ) )
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
9571, 94oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  ( 0  -  0 ) )
9621subidi 9371 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9795, 96syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  0 )
9839, 97eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 )
9998expr 599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  0 ) )
10031, 99sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  <_  ( M  +  N )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 ) )
101100necon1ad 2671 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  ( M  +  N ) ) )
102101ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) )
103 plyco0 20111 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) ) )
1045, 18, 103syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  o F  -  B
) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B ) " ( ZZ>= `  (
( M  +  N
)  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
106 df-0p 19562 . . . . 5  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
107 fconstmpt 4921 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
108106, 107eqtri 2456 . . . 4  |-  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
109 elfznn0 11083 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
11038adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
111110oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
11212adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
113112ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11415adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
115114ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
116 expcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
117116adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
118113, 115, 117subdird 9490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
119111, 118eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
120109, 119sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
121120sumeq2dv 12497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  -  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
122 fzfid 11312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
123113, 117mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
124109, 123sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
125115, 117mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
126109, 125sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
127122, 124, 126fsumsub 12571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
128122, 124fsumcl 12527 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
129 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
130 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
131129, 130eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
132131fveq1d 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z ) )
133132adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  z ) )
134 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
135 sumex 12481 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
136 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
137136fvmpt2 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
138134, 135, 137sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
139 fzss2 11092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
14056, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
141140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
142141sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
143142, 124syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
144 eldifn 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
146 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
147146, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
148 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
149148, 48syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
151 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  <->  k  <_  M ) )
152149, 150, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  <->  k  <_  M
) )
15368, 152sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... M
) ) )
154153adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... M ) ) )
155154necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
156147, 155sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
157145, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
158157oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
159134, 147, 116syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
160159mul02d 9264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
161158, 160eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
162141, 143, 161, 122fsumss 12519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
163138, 162eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
164 sumex 12481 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
165 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
166165fvmpt2 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
167134, 164, 166sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
168 fzss2 11092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
16980, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
170169adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
171170sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
172171, 126syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
173 eldifn 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
175 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
176175, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
17775adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
178 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
179149, 177, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  <_  N
) )
18091, 179sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... N
) ) )
181180adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) ) )
182181necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
183176, 182sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
184174, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( B `  k )  =  0 )
185184oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
186134, 176, 116syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
187186mul02d 9264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
188185, 187eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
189170, 172, 188, 122fsumss 12519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
190167, 189eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
191133, 163, 1903eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
192128, 191subeq0bd 9463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  0 )
193121, 127, 1923eqtrrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )
194193mpteq2dva 4295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  0 )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
195108, 194syl5eq 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
1962, 5, 27, 105, 195plyeq0 20130 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  {
0 } ) )
197 ofsubeq0 9997 . . 3  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  A : NN0 --> CC  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( A  o F  -  B
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } )  <->  A  =  B
) )
19816, 12, 15, 197syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  { 0 } )  <-> 
A  =  B ) )
199196, 198mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ^m cmap 7018   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   ^cexp 11382   sum_csu 12479   0 pc0p 19561  Polycply 20103
This theorem is referenced by:  coeeu  20144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562
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