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Theorem coeeulem 19622
Description: Lemma for coeeu 19623. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
coeeu.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
coeeu.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
coeeu.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
coeeu.6  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.7  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
coeeu.8  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
coeeu.9  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
coeeulem  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    z, k, B    ph, k, z    A, k, z    k, M, z   
k, N, z
Allowed substitution hints:    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . . . 4  |-  CC  C_  CC
21a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
3 coeeu.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 coeeu.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
53, 4nn0addcld 10038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  NN0 )
6 subcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
76adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  CC )
8 coeeu.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
9 cnex 8834 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
10 nn0ex 9987 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
119, 10elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  A : NN0 --> CC )
128, 11sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 coeeu.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
^m  NN0 ) )
149, 10elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  B : NN0 --> CC )
1513, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
1610a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
17 inidm 3391 . . . . . 6  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
187, 12, 15, 16, 16, 17off 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
199, 10elmap 6812 . . . . 5  |-  ( ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 )  <->  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )
2018, 19sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( CC  ^m  NN0 ) )
21 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  { 0 }  C_  CC )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  CC
24 ssequn2 3361 . . . . . 6  |-  ( { 0 }  C_  CC  <->  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC )
2523, 24mpbi 199 . . . . 5  |-  ( CC  u.  { 0 } )  =  CC
2625oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  =  ( CC  ^m 
NN0 )
2720, 26syl6eleqr 2387 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  e.  ( ( CC  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
285nn0red 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
29 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
30 ltnle 8918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  <->  -.  k  <_  ( M  +  N ) ) )
32 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
3312, 32syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
34 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  B  Fn  NN0 )
3515, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  Fn  NN0 )
36 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  k ) )
37 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  =  ( B `  k ) )
3833, 35, 16, 16, 17, 36, 37ofval 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  ( ( A `
 k )  -  ( B `  k ) ) )
3938adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
403nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  e.  RR )
4228adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
4329adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
4443adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
k  e.  RR )
453nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
464nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4745, 46addcomd 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
48 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
494, 48syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
503nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
51 eluzadd 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5347, 52eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
5445addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
5653, 55eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
57 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <_  ( M  +  N ) )
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  +  N
)  <  k )
6141, 42, 44, 59, 60lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  M  <  k )
6241, 44ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( M  <  k  <->  -.  k  <_  M )
)
6361, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  M )
64 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
65 plyco0 19590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  A : NN0 --> CC )  ->  ( ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) ) )
663, 12, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A "
( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
) )
6764, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
6867r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M ) )
6968adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  <_  M )
)
7069necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  M  ->  ( A `  k )  =  0 ) )
7163, 70mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( A `  k
)  =  0 )
724nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  e.  RR )
743, 48syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
754nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
76 eluzadd 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) ) )
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  N
) ) )
7846addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  +  N
)  =  N )
7978fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
8077, 79eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
81 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <_  ( M  +  N ) )
8473, 42, 44, 83, 60lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  N  <  k )
8573, 44ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( N  <  k  <->  -.  k  <_  N )
)
8684, 85mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  ->  -.  k  <_  N )
87 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
88 plyco0 19590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `
 k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) ) )
894, 15, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B "
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
) )
9087, 89mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9190r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N ) )
9291adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  <_  N )
)
9392necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( -.  k  <_  N  ->  ( B `  k )  =  0 ) )
9486, 93mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( B `  k
)  =  0 )
9571, 94oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  ( 0  -  0 ) )
9621subidi 9133 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9795, 96syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  =  0 )
9839, 97eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  < 
k ) )  -> 
( ( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 )
9998expr 598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  <  k  ->  ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =  0 ) )
10031, 99sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  <_  ( M  +  N )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  0 ) )
101100necon1ad 2526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) `  k )  =/=  0  ->  k  <_  ( M  +  N ) ) )
102101ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) )
103 plyco0 19590 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( A  o F  -  B ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( A  o F  -  B ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  =/=  0  ->  k  <_ 
( M  +  N
) ) ) )
1045, 18, 103syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  o F  -  B
) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. k  e.  NN0  ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B ) " ( ZZ>= `  (
( M  +  N
)  +  1 ) ) )  =  {
0 } )
106 df-0p 19041 . . . . 5  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
107 fconstmpt 4748 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
108106, 107eqtri 2316 . . . 4  |-  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
109 elfznn0 10838 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
11038adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  o F  -  B ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) ) )
111110oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  -  ( B `
 k ) )  x.  ( z ^
k ) ) )
11212adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
113 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
114112, 113sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11515adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
116 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B `  k
)  e.  CC )
117115, 116sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
118 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
119118adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
120114, 117, 119subdird 9252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A `  k )  -  ( B `  k )
)  x.  ( z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
121111, 120eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
122109, 121sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
123122sumeq2dv 12192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  -  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
124 fzfid 11051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
125114, 119mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
126109, 125sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
127117, 119mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
128109, 127sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
129124, 126, 128fsumsub 12266 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  -  ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
130 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
131 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
132130, 131eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
133132fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z ) )
134133adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) `  z ) )
135 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
136 sumex 12176 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
137 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
138137fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
139135, 136, 138sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
140 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
14156, 140syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
142141adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
143142sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
144143, 126syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
145 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
146145adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
147 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
148147, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
149 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
150149, 48syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
152 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... M )  <->  k  <_  M ) )
153150, 151, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  <->  k  <_  M
) )
15468, 153sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... M
) ) )
155154adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... M ) ) )
156155necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
157148, 156sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
158146, 157mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
159158oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
160135, 148, 118syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
161160mul02d 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
162159, 161eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
163142, 144, 162, 124fsumss 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
164139, 163eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
165 sumex 12176 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
166 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
167166fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  _V )  -> 
( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) `  z
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
168135, 165, 167sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
169 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
17080, 169syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
171170adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
172171sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
173172, 128syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
174 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
176 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
177176, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
17875adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
179 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  k  <_  N ) )
180150, 178, 179syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  <->  k  <_  N
) )
18191, 180sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  k )  =/=  0  ->  k  e.  ( 0 ... N
) ) )
182181adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( B `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) ) )
183182necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  k  e.  (
0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
184177, 183sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... N )  -> 
( B `  k
)  =  0 ) )
185175, 184mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( B `  k )  =  0 )
186185oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
187135, 177, 118syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
188187mul02d 9026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
189186, 188eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
190171, 173, 189, 124fsumss 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
191168, 190eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )
192134, 164, 1913eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
193124, 126fsumcl 12222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
194124, 128fsumcl 12222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
195 subeq0 9089 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
196193, 194, 195syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
197192, 196mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  0 )
198123, 129, 1973eqtrrd 2333 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B
) `  k )  x.  ( z ^ k
) ) )
199198mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  0 )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
200108, 199syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ( ( ( A  o F  -  B ) `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
2012, 5, 27, 105, 200plyeq0 19609 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  {
0 } ) )
202 ofsubeq0 9759 . . 3  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  A : NN0 --> CC  /\  B : NN0 --> CC )  ->  ( ( A  o F  -  B
)  =  ( NN0 
X.  { 0 } )  <->  A  =  B
) )
20316, 12, 15, 202syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  o F  -  B )  =  ( NN0  X.  { 0 } )  <-> 
A  =  B ) )
204201, 203mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174   0 pc0p 19040  Polycply 19582
This theorem is referenced by:  coeeu  19623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041
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