Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Unicode version

Theorem coefv0 20171
 Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 coeff
Assertion
Ref Expression
coefv0 Poly

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9089 . . 3
2 coefv0.1 . . . 4 coeff
3 eqid 2438 . . . 4 deg deg
42, 3coeid2 20163 . . 3 Poly deg
51, 4mpan2 654 . 2 Poly deg
6 dgrcl 20157 . . . . 5 Poly deg
7 nn0uz 10525 . . . . 5
86, 7syl6eleq 2528 . . . 4 Poly deg
9 fzss2 11097 . . . 4 deg deg
108, 9syl 16 . . 3 Poly deg
11 elfz1eq 11073 . . . . . 6
12 fveq2 5731 . . . . . . 7
13 oveq2 6092 . . . . . . . 8
14 exp0 11391 . . . . . . . . 9
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8
1613, 15syl6eq 2486 . . . . . . 7
1712, 16oveq12d 6102 . . . . . 6
1811, 17syl 16 . . . . 5
192coef3 20156 . . . . . . 7 Poly
20 0nn0 10241 . . . . . . 7
21 ffvelrn 5871 . . . . . . 7
2219, 20, 21sylancl 645 . . . . . 6 Poly
2322mulid1d 9110 . . . . 5 Poly
2418, 23sylan9eqr 2492 . . . 4 Poly
2522adantr 453 . . . 4 Poly
2624, 25eqeltrd 2512 . . 3 Poly
27 eldifn 3472 . . . . . . . 8 deg
28 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
29 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . . 12 deg
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11 deg
31 elnn0 10228 . . . . . . . . . . 11
3230, 31sylib 190 . . . . . . . . . 10 deg
3332ord 368 . . . . . . . . 9 deg
34 id 21 . . . . . . . . . 10
35 0z 10298 . . . . . . . . . . 11
36 elfz3 11072 . . . . . . . . . . 11
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3834, 37syl6eqel 2526 . . . . . . . . 9
3933, 38syl6 32 . . . . . . . 8 deg
4027, 39mt3d 120 . . . . . . 7 deg
4140adantl 454 . . . . . 6 Poly deg
42410expd 11544 . . . . 5 Poly deg
4342oveq2d 6100 . . . 4 Poly deg
44 ffvelrn 5871 . . . . . 6
4519, 30, 44syl2an 465 . . . . 5 Poly deg
4645mul01d 9270 . . . 4 Poly deg
4743, 46eqtrd 2470 . . 3 Poly deg
48 fzfid 11317 . . 3 Poly deg
4910, 26, 47, 48fsumss 12524 . 2 Poly deg
5023, 22eqeltrd 2512 . . . 4 Poly
5117fsum1 12540 . . . 4
5235, 50, 51sylancr 646 . . 3 Poly
5352, 23eqtrd 2470 . 2 Poly
545, 49, 533eqtr2d 2476 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cdif 3319   wss 3322  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  cexp 11387  csu 12484  Polycply 20108  coeffccoe 20110  degcdgr 20111 This theorem is referenced by:  coemulc  20178  dgreq0  20188  vieta1lem2  20233  aareccl  20248  ftalem5  20864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115
 Copyright terms: Public domain W3C validator