Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coemulhi Structured version   Unicode version

Theorem coemulhi 20164
 Description: The leading coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 coeff
coemulhi.3 deg
coemulhi.4 deg
Assertion
Ref Expression
coemulhi Poly Poly coeff

Proof of Theorem coemulhi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coemulhi.3 . . . . 5 deg
2 dgrcl 20144 . . . . 5 Poly deg
31, 2syl5eqel 2519 . . . 4 Poly
4 coemulhi.4 . . . . 5 deg
5 dgrcl 20144 . . . . 5 Poly deg
64, 5syl5eqel 2519 . . . 4 Poly
7 nn0addcl 10247 . . . 4
83, 6, 7syl2an 464 . . 3 Poly Poly
9 coefv0.1 . . . 4 coeff
10 coeadd.2 . . . 4 coeff
119, 10coemul 20162 . . 3 Poly Poly coeff
128, 11mpd3an3 1280 . 2 Poly Poly coeff
136adantl 453 . . . . . . 7 Poly Poly
1413nn0ge0d 10269 . . . . . 6 Poly Poly
153adantr 452 . . . . . . . 8 Poly Poly
1615nn0red 10267 . . . . . . 7 Poly Poly
1713nn0red 10267 . . . . . . 7 Poly Poly
1816, 17addge01d 9606 . . . . . 6 Poly Poly
1914, 18mpbid 202 . . . . 5 Poly Poly
20 nn0uz 10512 . . . . . . 7
2115, 20syl6eleq 2525 . . . . . 6 Poly Poly
228nn0zd 10365 . . . . . 6 Poly Poly
23 elfz5 11043 . . . . . 6
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5 Poly Poly
2519, 24mpbird 224 . . . 4 Poly Poly
2625snssd 3935 . . 3 Poly Poly
27 elsni 3830 . . . . . 6
2827adantl 453 . . . . 5 Poly Poly
29 fveq2 5720 . . . . . 6
30 oveq2 6081 . . . . . . 7
3130fveq2d 5724 . . . . . 6
3229, 31oveq12d 6091 . . . . 5
3328, 32syl 16 . . . 4 Poly Poly
3416recnd 9106 . . . . . . . . 9 Poly Poly
3517recnd 9106 . . . . . . . . 9 Poly Poly
3634, 35pncan2d 9405 . . . . . . . 8 Poly Poly
3736fveq2d 5724 . . . . . . 7 Poly Poly
3837oveq2d 6089 . . . . . 6 Poly Poly
399coef3 20143 . . . . . . . . 9 Poly
4039adantr 452 . . . . . . . 8 Poly Poly
4140, 15ffvelrnd 5863 . . . . . . 7 Poly Poly
4210coef3 20143 . . . . . . . . 9 Poly
4342adantl 453 . . . . . . . 8 Poly Poly
4443, 13ffvelrnd 5863 . . . . . . 7 Poly Poly
4541, 44mulcld 9100 . . . . . 6 Poly Poly
4638, 45eqeltrd 2509 . . . . 5 Poly Poly
4746adantr 452 . . . 4 Poly Poly
4833, 47eqeltrd 2509 . . 3 Poly Poly
49 simpl 444 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
50 eldifi 3461 . . . . . . . . . 10
51 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9
539, 1dgrub 20145 . . . . . . . . . 10 Poly
54533expia 1155 . . . . . . . . 9 Poly
5549, 52, 54syl2an 464 . . . . . . . 8 Poly Poly
5655necon1bd 2666 . . . . . . 7 Poly Poly
5756imp 419 . . . . . 6 Poly Poly
5857oveq1d 6088 . . . . 5 Poly Poly
5943ad2antrr 707 . . . . . . 7 Poly Poly
6050ad2antlr 708 . . . . . . . 8 Poly Poly
61 fznn0sub 11077 . . . . . . . 8
6260, 61syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly
6359, 62ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly Poly
6463mul02d 9256 . . . . 5 Poly Poly
6558, 64eqtrd 2467 . . . 4 Poly Poly
6616adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
6750adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
6867, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
6968nn0red 10267 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7017adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7166, 69, 70leadd1d 9612 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
728adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
7372nn0red 10267 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
7473, 69, 70lesubadd2d 9617 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
7571, 74bitr4d 248 . . . . . . . . 9 Poly Poly
7675notbid 286 . . . . . . . 8 Poly Poly
7776biimpa 471 . . . . . . 7 Poly Poly
78 simpr 448 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
7950, 61syl 16 . . . . . . . . . 10
8010, 4dgrub 20145 . . . . . . . . . . 11 Poly
81803expia 1155 . . . . . . . . . 10 Poly
8278, 79, 81syl2an 464 . . . . . . . . 9 Poly Poly
8382necon1bd 2666 . . . . . . . 8 Poly Poly
8483imp 419 . . . . . . 7 Poly Poly
8577, 84syldan 457 . . . . . 6 Poly Poly
8685oveq2d 6089 . . . . 5 Poly Poly
8740ad2antrr 707 . . . . . . 7 Poly Poly
8852ad2antlr 708 . . . . . . 7 Poly Poly
8987, 88ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly Poly
9089mul01d 9257 . . . . 5 Poly Poly
9186, 90eqtrd 2467 . . . 4 Poly Poly
92 eldifsni 3920 . . . . . . 7
9392adantl 453 . . . . . 6 Poly Poly
9469, 66letri3d 9207 . . . . . . 7 Poly Poly
9594necon3abid 2631 . . . . . 6 Poly Poly
9693, 95mpbid 202 . . . . 5 Poly Poly
97 ianor 475 . . . . 5
9896, 97sylib 189 . . . 4 Poly Poly
9965, 91, 98mpjaodan 762 . . 3 Poly Poly
100 fzfid 11304 . . 3 Poly Poly
10126, 48, 99, 100fsumss 12511 . 2 Poly Poly
10232sumsn 12526 . . . 4
10315, 46, 102syl2anc 643 . . 3 Poly Poly
104103, 38eqtrd 2467 . 2 Poly Poly
10512, 101, 1043eqtr2d 2473 1 Poly Poly coeff
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   cdif 3309  csn 3806   class class class wbr 4204  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cc 8980  cr 8981  cc0 8982   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cmin 9283  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035  csu 12471  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  dgrmul  20180  plymul0or  20190  plydivlem4  20205  vieta1lem2  20220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
 Copyright terms: Public domain W3C validator