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Theorem coemullem 19647
Description: Lemma for coemul 19649 and dgrmul 19667. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1  |-  A  =  (coeff `  F )
coeadd.2  |-  B  =  (coeff `  G )
coeadd.3  |-  M  =  (deg `  F )
coeadd.4  |-  N  =  (deg `  G )
Assertion
Ref Expression
coemullem  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    k, F, n    k, M    k, G, n    k, N, n    S, k, n
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables  j 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 19619 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
2 coeadd.3 . . . . 5  |-  M  =  (deg `  F )
3 dgrcl 19631 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
42, 3syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  M  e.  NN0 )
5 coeadd.4 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
6 dgrcl 19631 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
75, 6syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  N  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10015 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
94, 7, 8syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
10 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... n )  e. 
Fin )
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
1211coef3 19630 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
15 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1714, 15, 16syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  (coeff `  G )
1918coef3 19630 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  B : NN0
--> CC )
2019adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  B : NN0
--> CC )
2120ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  B : NN0 --> CC )
22 fznn0sub 10840 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
2322adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e.  NN0 )
24 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  ( n  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( B `  (
n  -  k ) )  e.  CC )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
2617, 25mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
2710, 26fsumcl 12222 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
28 eqid 2296 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) )
2927, 28fmptd 5700 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... j
) )
31 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  -  k )  =  ( j  -  k ) )
3231fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  =  ( B `  ( j  -  k
) ) )
3332oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3530, 34sumeq12dv 12195 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
36 sumex 12176 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  e.  _V
3735, 28, 36fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
39 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  j  <_  ( M  +  N ) )
40 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  NN0 )
4140nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  RR )
42 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  ( 0 ... j ) )
43 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  k  e.  NN0 )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
4544nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  RR )
467adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  N  e.  NN0 )
47463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
4847nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  RR )
4941, 45, 48lesubadd2d 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N 
<->  j  <_  ( k  +  N ) ) )
504adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  M  e.  NN0 )
51503ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
5251nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  RR )
53 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  <_  M
)
5445, 52, 48, 53leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  <_  ( M  +  N )
)
5545, 48readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  e.  RR )
5652, 48readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
57 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( k  +  N
)  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5841, 55, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5954, 58mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  <_ 
( k  +  N
)  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
6049, 59sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N  ->  j  <_  ( M  +  N )
) )
6139, 60mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  ( j  -  k )  <_  N )
62 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
63623ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
64 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
6542, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  -  k )  e.  NN0 )
6618, 5dgrub 19632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0  /\  ( B `  ( j  -  k ) )  =/=  0 )  -> 
( j  -  k
)  <_  N )
67663expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( B `  ( j  -  k
) )  =/=  0  ->  ( j  -  k
)  <_  N )
)
6863, 65, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( B `
 ( j  -  k ) )  =/=  0  ->  ( j  -  k )  <_  N ) )
6968necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  (
j  -  k )  <_  N  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  =  0 ) )
7061, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( B `  ( j  -  k
) )  =  0 )
7170oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  0 ) )
72133ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7372, 44, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7473mul01d 9027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  0 )  =  0 )
7571, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
76753expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... j
)  /\  k  <_  M )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 ) )
7776impl 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  k  <_  M
)  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
78 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
8011, 2dgrub 19632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
81803expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8279, 43, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8382necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  ( -.  k  <_  M  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( A `  k )  =  0 )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  ( 0  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
8620ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  B : NN0 --> CC )
8764ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
88 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  ( j  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( B `  (
j  -  k ) )  e.  CC )
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  e.  CC )
9089mul02d 9026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
0  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9185, 90eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9277, 91pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9392sumeq2dv 12192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) 0 )
94 fzfi 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... j )  e. 
Fin
9594olci 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... j ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... j )  e. 
Fin )
96 sumz 12211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... j
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... j )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0 )
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0
9893, 97syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9938, 98eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  0 )
10099expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( -.  j  <_  ( M  +  N )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
101100necon1ad 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N
) ) )
102101ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
103 plyco0 19590 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
1049, 29, 103syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 223 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10611, 2dgrub2 19633 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
107106adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10818, 5dgrub2 19633 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
109108adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
11011, 2coeid 19636 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
111110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11218, 5coeid 19636 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
113112adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11478, 62, 50, 46, 13, 20, 107, 109, 111, 113plymullem1 19612 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
115 elfznn0 10838 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN0 )
116115, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) ) )
117116oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  x.  ( z ^ j ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) )
118117sumeq2i 12188 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) )
119118mpteq2i 4119 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) )  x.  ( z ^ j ) ) )
120114, 119syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
1211, 9, 29, 105, 120coeeq 19625 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (coeff `  ( F  o F  x.  G
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) )
122 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  e.  CC )
12329, 115, 122syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
1241, 9, 123, 120dgrle 19641 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (deg `  ( F  o F  x.  G
) )  <_  ( M  +  N )
)
125121, 124jca 518 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  coemul  19649  dgrmul2  19666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
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