MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coemullem Unicode version

Theorem coemullem 20028
Description: Lemma for coemul 20030 and dgrmul 20048. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1  |-  A  =  (coeff `  F )
coeadd.2  |-  B  =  (coeff `  G )
coeadd.3  |-  M  =  (deg `  F )
coeadd.4  |-  N  =  (deg `  G )
Assertion
Ref Expression
coemullem  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    k, F, n    k, M    k, G, n    k, N, n    S, k, n
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables  j 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 20000 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
2 coeadd.3 . . . . 5  |-  M  =  (deg `  F )
3 dgrcl 20012 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
42, 3syl5eqel 2464 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  M  e.  NN0 )
5 coeadd.4 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
6 dgrcl 20012 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
75, 6syl5eqel 2464 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  N  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10180 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
94, 7, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
10 fzfid 11232 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... n )  e. 
Fin )
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
1211coef3 20011 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
1312adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
15 elfznn0 11008 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
16 ffvelrn 5800 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1714, 15, 16syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  (coeff `  G )
1918coef3 20011 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  B : NN0
--> CC )
2019adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  B : NN0
--> CC )
2120ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  B : NN0 --> CC )
22 fznn0sub 11010 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
2322adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e.  NN0 )
2421, 23ffvelrnd 5803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
2517, 24mulcld 9034 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
2610, 25fsumcl 12447 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
27 eqid 2380 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) )
2826, 27fmptd 5825 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
29 oveq2 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... j
) )
30 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  -  k )  =  ( j  -  k ) )
3130fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  =  ( B `  ( j  -  k
) ) )
3231oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3429, 33sumeq12dv 12420 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
35 sumex 12401 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  e.  _V
3634, 27, 35fvmpt 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3736ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
38 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  j  <_  ( M  +  N ) )
39 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  NN0 )
4039nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  RR )
41 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  ( 0 ... j ) )
42 elfznn0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  k  e.  NN0 )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
4443nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  RR )
457adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  N  e.  NN0 )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
4746nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  RR )
4840, 44, 47lesubadd2d 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N 
<->  j  <_  ( k  +  N ) ) )
494adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  M  e.  NN0 )
50493ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
5150nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  RR )
52 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  <_  M
)
5344, 51, 47, 52leadd1dd 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  <_  ( M  +  N )
)
5444, 47readdcld 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  e.  RR )
5551, 47readdcld 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
56 letr 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( k  +  N
)  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5740, 54, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5853, 57mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  <_ 
( k  +  N
)  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
5948, 58sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N  ->  j  <_  ( M  +  N )
) )
6038, 59mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  ( j  -  k )  <_  N )
61 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
62613ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
63 fznn0sub 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
6441, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  -  k )  e.  NN0 )
6518, 5dgrub 20013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0  /\  ( B `  ( j  -  k ) )  =/=  0 )  -> 
( j  -  k
)  <_  N )
66653expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( B `  ( j  -  k
) )  =/=  0  ->  ( j  -  k
)  <_  N )
)
6762, 64, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( B `
 ( j  -  k ) )  =/=  0  ->  ( j  -  k )  <_  N ) )
6867necon1bd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  (
j  -  k )  <_  N  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  =  0 ) )
6960, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( B `  ( j  -  k
) )  =  0 )
7069oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  0 ) )
71133ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7271, 43ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7372mul01d 9190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  0 )  =  0 )
7470, 73eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
75743expia 1155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... j
)  /\  k  <_  M )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 ) )
7675impl 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  k  <_  M
)  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
77 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7877adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
7911, 2dgrub 20013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
80793expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8178, 42, 80syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8281necon1bd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  ( -.  k  <_  M  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
8382imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( A `  k )  =  0 )
8483oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  ( 0  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
8520ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  B : NN0 --> CC )
8663ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
8785, 86ffvelrnd 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  e.  CC )
8887mul02d 9189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
0  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
8984, 88eqtrd 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9076, 89pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9190sumeq2dv 12417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) 0 )
92 fzfi 11231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... j )  e. 
Fin
9392olci 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... j ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... j )  e. 
Fin )
94 sumz 12436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... j
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... j )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0 )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0
9691, 95syl6eq 2428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9737, 96eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  0 )
9897expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( -.  j  <_  ( M  +  N )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
9998necon1ad 2610 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N
) ) )
10099ralrimiva 2725 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
101 plyco0 19971 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
1029, 28, 101syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
103100, 102mpbird 224 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10411, 2dgrub2 20014 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
105104adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10618, 5dgrub2 20014 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
107106adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10811, 2coeid 20017 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
109108adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11018, 5coeid 20017 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
111110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11277, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111plymullem1 19993 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
113 elfznn0 11008 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN0 )
114113, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) ) )
115114oveq1d 6028 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  x.  ( z ^ j ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) )
116115sumeq2i 12413 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) )
117116mpteq2i 4226 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) )  x.  ( z ^ j ) ) )
118112, 117syl6eqr 2430 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
1191, 9, 28, 103, 118coeeq 20006 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (coeff `  ( F  o F  x.  G
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) )
120 ffvelrn 5800 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  e.  CC )
12128, 113, 120syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
1221, 9, 121, 118dgrle 20022 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (deg `  ( F  o F  x.  G
) )  <_  ( M  +  N )
)
123119, 122jca 519 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642    C_ wss 3256   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   "cima 4814   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    <_ cle 9047    - cmin 9216   NN0cn0 10146   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968   ^cexp 11302   sum_csu 12399  Polycply 19963  coeffccoe 19965  degcdgr 19966
This theorem is referenced by:  coemul  20030  dgrmul2  20047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-0p 19422  df-ply 19967  df-coe 19969  df-dgr 19970
  Copyright terms: Public domain W3C validator