MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coemullem Unicode version

Theorem coemullem 19631
Description: Lemma for coemul 19633 and dgrmul 19651. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1  |-  A  =  (coeff `  F )
coeadd.2  |-  B  =  (coeff `  G )
coeadd.3  |-  M  =  (deg `  F )
coeadd.4  |-  N  =  (deg `  G )
Assertion
Ref Expression
coemullem  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    k, F, n    k, M    k, G, n    k, N, n    S, k, n
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables  j 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 19603 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
2 coeadd.3 . . . . 5  |-  M  =  (deg `  F )
3 dgrcl 19615 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
42, 3syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  M  e.  NN0 )
5 coeadd.4 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
6 dgrcl 19615 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
75, 6syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  N  e.  NN0 )
8 nn0addcl 9999 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
94, 7, 8syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
10 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... n )  e. 
Fin )
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
1211coef3 19614 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
15 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
16 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
1714, 15, 16syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  (coeff `  G )
1918coef3 19614 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  B : NN0
--> CC )
2019adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  B : NN0
--> CC )
2120ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  B : NN0 --> CC )
22 fznn0sub 10824 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
2322adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e.  NN0 )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  ( n  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( B `  (
n  -  k ) )  e.  CC )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
2617, 25mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
2710, 26fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
28 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) )
2927, 28fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
30 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
0 ... n )  =  ( 0 ... j
) )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  -  k )  =  ( j  -  k ) )
3231fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  =  ( B `  ( j  -  k
) ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  j  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3530, 34sumeq12dv 12179 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
36 sumex 12160 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  e.  _V
3735, 28, 36fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) ) )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
39 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  j  <_  ( M  +  N ) )
40 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  NN0 )
4140nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  j  e.  RR )
42 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  ( 0 ... j ) )
43 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  k  e.  NN0 )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
4544nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  e.  RR )
467adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  N  e.  NN0 )
47463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
4847nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  N  e.  RR )
4941, 45, 48lesubadd2d 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N 
<->  j  <_  ( k  +  N ) ) )
504adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  M  e.  NN0 )
51503ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  NN0 )
5251nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  M  e.  RR )
53 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  k  <_  M
)
5445, 52, 48, 53leadd1dd 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  <_  ( M  +  N )
)
5545, 48readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( k  +  N )  e.  RR )
5652, 48readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
57 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( k  +  N
)  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5841, 55, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  <_  ( k  +  N )  /\  (
k  +  N )  <_  ( M  +  N ) )  -> 
j  <_  ( M  +  N ) ) )
5954, 58mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  <_ 
( k  +  N
)  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
6049, 59sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( j  -  k )  <_  N  ->  j  <_  ( M  +  N )
) )
6139, 60mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  -.  ( j  -  k )  <_  N )
62 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
63623ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
64 fznn0sub 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... j )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
6542, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( j  -  k )  e.  NN0 )
6618, 5dgrub 19616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0  /\  ( B `  ( j  -  k ) )  =/=  0 )  -> 
( j  -  k
)  <_  N )
67663expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  (Poly `  S )  /\  (
j  -  k )  e.  NN0 )  -> 
( ( B `  ( j  -  k
) )  =/=  0  ->  ( j  -  k
)  <_  N )
)
6863, 65, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( B `
 ( j  -  k ) )  =/=  0  ->  ( j  -  k )  <_  N ) )
6968necon1bd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( -.  (
j  -  k )  <_  N  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  =  0 ) )
7061, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( B `  ( j  -  k
) )  =  0 )
7170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  ( ( A `  k
)  x.  0 ) )
72133ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7372, 44, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7473mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  0 )  =  0 )
7571, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... j )  /\  k  <_  M ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
76753expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( 0 ... j
)  /\  k  <_  M )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 ) )
7776impl 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  k  <_  M
)  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  =  0 )
78 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
8011, 2dgrub 19616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0  /\  ( A `
 k )  =/=  0 )  ->  k  <_  M )
81803expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8279, 43, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  =/=  0  -> 
k  <_  M )
)
8382necon1bd 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  ( -.  k  <_  M  -> 
( A `  k
)  =  0 ) )
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( A `  k )  =  0 )
8584oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  ( 0  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) ) )
8620ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  B : NN0 --> CC )
8764ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
j  -  k )  e.  NN0 )
88 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  ( j  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( B `  (
j  -  k ) )  e.  CC )
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  ( B `  ( j  -  k ) )  e.  CC )
9089mul02d 9010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
0  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9185, 90eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S
)  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e. 
NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... j ) )  /\  -.  k  <_  M )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9277, 91pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S ) )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
-.  j  <_  ( M  +  N )
) )  /\  k  e.  ( 0 ... j
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9392sumeq2dv 12176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) 0 )
94 fzfi 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... j )  e. 
Fin
9594olci 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ... j ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... j )  e. 
Fin )
96 sumz 12195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... j
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... j )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0 )
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... j
) 0  =  0
9893, 97syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( j  -  k ) ) )  =  0 )
9938, 98eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  ( j  e.  NN0  /\  -.  j  <_  ( M  +  N
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  =  0 )
10099expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( -.  j  <_  ( M  +  N )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
101100necon1ad 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N
) ) )
102101ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) )
103 plyco0 19574 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
1049, 29, 103syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) " ( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  ( M  +  N ) ) ) )
105102, 104mpbird 223 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) "
( ZZ>= `  ( ( M  +  N )  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10611, 2dgrub2 19617 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
107106adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
10818, 5dgrub2 19617 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
109108adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
11011, 2coeid 19620 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
111110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11218, 5coeid 19620 . . . . . 6  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
113112adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
11478, 62, 50, 46, 13, 20, 107, 109, 111, 113plymullem1 19596 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
115 elfznn0 10822 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN0 )
116115, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) ) )
117116oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  x.  ( z ^ j ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) ) )
118117sumeq2i 12172 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... j
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
j  -  k ) ) )  x.  (
z ^ j ) )
119118mpteq2i 4103 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... j ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( j  -  k ) ) )  x.  ( z ^ j ) ) )
120114, 119syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) `  j )  x.  (
z ^ j ) ) ) )
1211, 9, 29, 105, 120coeeq 19609 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (coeff `  ( F  o F  x.  G
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) ) ) )
122 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) ) `  j
)  e.  CC )
12329, 115, 122syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
1241, 9, 123, 120dgrle 19625 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  (deg `  ( F  o F  x.  G
) )  <_  ( M  +  N )
)
125121, 124jca 518 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  G  e.  (Poly `  S )
)  ->  ( (coeff `  ( F  o F  x.  G ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) ) )  /\  (deg `  ( F  o F  x.  G ) )  <_  ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  coemul  19633  dgrmul2  19650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
  Copyright terms: Public domain W3C validator