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Theorem coemullem 19647
 Description: Lemma for coemul 19649 and dgrmul 19667. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 coeff
Assertion
Ref Expression
coemullem Poly Poly coeff deg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 19619 . . 3 Poly Poly Poly
2 coeadd.3 . . . . 5 deg
3 dgrcl 19631 . . . . 5 Poly deg
42, 3syl5eqel 2380 . . . 4 Poly
5 coeadd.4 . . . . 5 deg
6 dgrcl 19631 . . . . 5 Poly deg
75, 6syl5eqel 2380 . . . 4 Poly
8 nn0addcl 10015 . . . 4
94, 7, 8syl2an 463 . . 3 Poly Poly
10 fzfid 11051 . . . . 5 Poly Poly
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10 coeff
1211coef3 19630 . . . . . . . . 9 Poly
1312adantr 451 . . . . . . . 8 Poly Poly
1413adantr 451 . . . . . . 7 Poly Poly
15 elfznn0 10838 . . . . . . 7
16 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
1714, 15, 16syl2an 463 . . . . . 6 Poly Poly
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10 coeff
1918coef3 19630 . . . . . . . . 9 Poly
2019adantl 452 . . . . . . . 8 Poly Poly
2120ad2antrr 706 . . . . . . 7 Poly Poly
22 fznn0sub 10840 . . . . . . . 8
2322adantl 452 . . . . . . 7 Poly Poly
24 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6 Poly Poly
2617, 25mulcld 8871 . . . . 5 Poly Poly
2710, 26fsumcl 12222 . . . 4 Poly Poly
28 eqid 2296 . . . 4
2927, 28fmptd 5700 . . 3 Poly Poly
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
31 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
3231fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
3332oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11
3530, 34sumeq12dv 12195 . . . . . . . . . 10
36 sumex 12176 . . . . . . . . . 10
3735, 28, 36fvmpt 5618 . . . . . . . . 9
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8 Poly Poly
39 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
40 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4140nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
42 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
43 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4544nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
467adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
47463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4847nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
4941, 45, 48lesubadd2d 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
504adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Poly Poly
51503ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
5251nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
53 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5445, 52, 48, 53leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5545, 48readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5652, 48readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
57 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5841, 55, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5954, 58mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
6049, 59sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6139, 60mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
62 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly Poly
63623ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly Poly
64 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6542, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
6618, 5dgrub 19632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
67663expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
6863, 65, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6968necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7061, 69mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7170oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
72133ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7372, 44, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7473mul01d 9027 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
7571, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
76753expia 1153 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
7776impl 603 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
78 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly Poly
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
8011, 2dgrub 19632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
81803expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
8279, 43, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
8382necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8483imp 418 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
8620ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8764ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
88 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
9089mul02d 9026 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
9185, 90eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
9277, 91pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
9392sumeq2dv 12192 . . . . . . . . 9 Poly Poly
94 fzfi 11050 . . . . . . . . . . 11
9594olci 380 . . . . . . . . . 10
96 sumz 12211 . . . . . . . . . 10
9795, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9
9893, 97syl6eq 2344 . . . . . . . 8 Poly Poly
9938, 98eqtrd 2328 . . . . . . 7 Poly Poly
10099expr 598 . . . . . 6 Poly Poly
101100necon1ad 2526 . . . . 5 Poly Poly
102101ralrimiva 2639 . . . 4 Poly Poly
103 plyco0 19590 . . . . 5
1049, 29, 103syl2anc 642 . . . 4 Poly Poly
105102, 104mpbird 223 . . 3 Poly Poly
10611, 2dgrub2 19633 . . . . . 6 Poly
107106adantr 451 . . . . 5 Poly Poly
10818, 5dgrub2 19633 . . . . . 6 Poly
109108adantl 452 . . . . 5 Poly Poly
11011, 2coeid 19636 . . . . . 6 Poly
111110adantr 451 . . . . 5 Poly Poly
11218, 5coeid 19636 . . . . . 6 Poly
113112adantl 452 . . . . 5 Poly Poly
11478, 62, 50, 46, 13, 20, 107, 109, 111, 113plymullem1 19612 . . . 4 Poly Poly
115 elfznn0 10838 . . . . . . . 8
116115, 37syl 15 . . . . . . 7
117116oveq1d 5889 . . . . . 6
118117sumeq2i 12188 . . . . 5
119118mpteq2i 4119 . . . 4
120114, 119syl6eqr 2346 . . 3 Poly Poly
1211, 9, 29, 105, 120coeeq 19625 . 2 Poly Poly coeff
122 ffvelrn 5679 . . . 4
12329, 115, 122syl2an 463 . . 3 Poly Poly
1241, 9, 123, 120dgrle 19641 . 2 Poly Poly deg
125121, 124jca 518 1 Poly Poly coeff deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cle 8884   cmin 9053  cn0 9981  cuz 10246  cfz 10798  cexp 11120  csu 12174  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  coemul  19649  dgrmul2  19666 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
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