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Theorem coemullem 20160
 Description: Lemma for coemul 20162 and dgrmul 20180. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 coeff
Assertion
Ref Expression
coemullem Poly Poly coeff deg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem coemullem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plymulcl 20132 . . 3 Poly Poly Poly
2 coeadd.3 . . . . 5 deg
3 dgrcl 20144 . . . . 5 Poly deg
42, 3syl5eqel 2519 . . . 4 Poly
5 coeadd.4 . . . . 5 deg
6 dgrcl 20144 . . . . 5 Poly deg
75, 6syl5eqel 2519 . . . 4 Poly
8 nn0addcl 10247 . . . 4
94, 7, 8syl2an 464 . . 3 Poly Poly
10 fzfid 11304 . . . . 5 Poly Poly
11 coefv0.1 . . . . . . . . . 10 coeff
1211coef3 20143 . . . . . . . . 9 Poly
1312adantr 452 . . . . . . . 8 Poly Poly
1413adantr 452 . . . . . . 7 Poly Poly
15 elfznn0 11075 . . . . . . 7
16 ffvelrn 5860 . . . . . . 7
1714, 15, 16syl2an 464 . . . . . 6 Poly Poly
18 coeadd.2 . . . . . . . . . 10 coeff
1918coef3 20143 . . . . . . . . 9 Poly
2019adantl 453 . . . . . . . 8 Poly Poly
2120ad2antrr 707 . . . . . . 7 Poly Poly
22 fznn0sub 11077 . . . . . . . 8
2322adantl 453 . . . . . . 7 Poly Poly
2421, 23ffvelrnd 5863 . . . . . 6 Poly Poly
2517, 24mulcld 9100 . . . . 5 Poly Poly
2610, 25fsumcl 12519 . . . 4 Poly Poly
27 eqid 2435 . . . 4
2826, 27fmptd 5885 . . 3 Poly Poly
29 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
30 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14
3130fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
3231oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11
3429, 33sumeq12dv 12492 . . . . . . . . . 10
35 sumex 12473 . . . . . . . . . 10
3634, 27, 35fvmpt 5798 . . . . . . . . 9
3736ad2antrl 709 . . . . . . . 8 Poly Poly
38 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
39 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4039nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
41 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
42 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4443nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
457adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
4746nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
4840, 44, 47lesubadd2d 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
494adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Poly Poly
50493ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Poly Poly
5150nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
52 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5344, 51, 47, 52leadd1dd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5444, 47readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
5551, 47readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly Poly
56 letr 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5740, 54, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly
5853, 57mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
5948, 58sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6038, 59mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
61 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly Poly Poly
62613ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly Poly
63 fznn0sub 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6441, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly Poly
6518, 5dgrub 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
66653expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
6762, 64, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
6867necon1bd 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
6960, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7069oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
71133ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7271, 43ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
7372mul01d 9257 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
7470, 73eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
75743expia 1155 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
7675impl 604 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
77 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly Poly
7877adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
7911, 2dgrub 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
80793expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
8178, 42, 80syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
8281necon1bd 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8382imp 419 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
8483oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
8520ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8663ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
8785, 86ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
8887mul02d 9256 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
8984, 88eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
9076, 89pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
9190sumeq2dv 12489 . . . . . . . . 9 Poly Poly
92 fzfi 11303 . . . . . . . . . . 11
9392olci 381 . . . . . . . . . 10
94 sumz 12508 . . . . . . . . . 10
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . 9
9691, 95syl6eq 2483 . . . . . . . 8 Poly Poly
9737, 96eqtrd 2467 . . . . . . 7 Poly Poly
9897expr 599 . . . . . 6 Poly Poly
9998necon1ad 2665 . . . . 5 Poly Poly
10099ralrimiva 2781 . . . 4 Poly Poly
101 plyco0 20103 . . . . 5
1029, 28, 101syl2anc 643 . . . 4 Poly Poly
103100, 102mpbird 224 . . 3 Poly Poly
10411, 2dgrub2 20146 . . . . . 6 Poly
105104adantr 452 . . . . 5 Poly Poly
10618, 5dgrub2 20146 . . . . . 6 Poly
107106adantl 453 . . . . 5 Poly Poly
10811, 2coeid 20149 . . . . . 6 Poly
109108adantr 452 . . . . 5 Poly Poly
11018, 5coeid 20149 . . . . . 6 Poly
111110adantl 453 . . . . 5 Poly Poly
11277, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111plymullem1 20125 . . . 4 Poly Poly
113 elfznn0 11075 . . . . . . . 8
114113, 36syl 16 . . . . . . 7
115114oveq1d 6088 . . . . . 6
116115sumeq2i 12485 . . . . 5
117116mpteq2i 4284 . . . 4
118112, 117syl6eqr 2485 . . 3 Poly Poly
1191, 9, 28, 103, 118coeeq 20138 . 2 Poly Poly coeff
120 ffvelrn 5860 . . . 4
12128, 113, 120syl2an 464 . . 3 Poly Poly
1221, 9, 121, 118dgrle 20154 . 2 Poly Poly deg
123119, 122jca 519 1 Poly Poly coeff deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cmin 9283  cn0 10213  cuz 10480  cfz 11035  cexp 11374  csu 12471  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  coemul  20162  dgrmul2  20179 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
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