Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coesub Structured version   Unicode version

Theorem coesub 20175
 Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coesub.1 coeff
coesub.2 coeff
Assertion
Ref Expression
coesub Poly Poly coeff

Proof of Theorem coesub
StepHypRef Expression
1 plyssc 20119 . . . . 5 Poly Poly
2 simpl 444 . . . . 5 Poly Poly Poly
31, 2sseldi 3346 . . . 4 Poly Poly Poly
4 ssid 3367 . . . . . 6
5 neg1cn 10067 . . . . . 6
6 plyconst 20125 . . . . . 6 Poly
74, 5, 6mp2an 654 . . . . 5 Poly
8 simpr 448 . . . . . 6 Poly Poly Poly
91, 8sseldi 3346 . . . . 5 Poly Poly Poly
10 plymulcl 20140 . . . . 5 Poly Poly Poly
117, 9, 10sylancr 645 . . . 4 Poly Poly Poly
12 coesub.1 . . . . 5 coeff
13 eqid 2436 . . . . 5 coeff coeff
1412, 13coeadd 20169 . . . 4 Poly Poly coeff coeff
153, 11, 14syl2anc 643 . . 3 Poly Poly coeff coeff
16 coemulc 20173 . . . . . 6 Poly coeff coeff
175, 9, 16sylancr 645 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff
18 coesub.2 . . . . . 6 coeff
1918oveq2i 6092 . . . . 5 coeff
2017, 19syl6eqr 2486 . . . 4 Poly Poly coeff
2120oveq2d 6097 . . 3 Poly Poly coeff
2215, 21eqtrd 2468 . 2 Poly Poly coeff
23 cnex 9071 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4 Poly Poly
25 plyf 20117 . . . . 5 Poly
2625adantr 452 . . . 4 Poly Poly
27 plyf 20117 . . . . 5 Poly
2827adantl 453 . . . 4 Poly Poly
29 ofnegsub 9998 . . . 4
3024, 26, 28, 29syl3anc 1184 . . 3 Poly Poly
3130fveq2d 5732 . 2 Poly Poly coeff coeff
32 nn0ex 10227 . . . 4
3332a1i 11 . . 3 Poly Poly
3412coef3 20151 . . . 4 Poly
3534adantr 452 . . 3 Poly Poly
3618coef3 20151 . . . 4 Poly
3736adantl 453 . . 3 Poly Poly
38 ofnegsub 9998 . . 3
3933, 35, 37, 38syl3anc 1184 . 2 Poly Poly
4022, 31, 393eqtr3d 2476 1 Poly Poly coeff
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  csn 3814   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cc 8988  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291  cneg 9292  cn0 10221  Polycply 20103  coeffccoe 20105 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  20192  plydivlem4  20213  plydiveu  20215  vieta1lem2  20228  dgrsub2  27316 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562  df-ply 20107  df-coe 20109  df-dgr 20110
 Copyright terms: Public domain W3C validator