MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Unicode version

Theorem coexg 5415
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5395 . 2  |-  ( A  o.  B )  C_  ( dom  B  X.  ran  A )
2 dmexg 5133 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  B  e.  _V )
3 rnexg 5134 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
4 xpexg 4992 . . 3  |-  ( ( dom  B  e.  _V  /\ 
ran  A  e.  _V )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )
52, 3, 4syl2anr 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e.  _V )
6 ssexg 4352 . 2  |-  ( ( ( A  o.  B
)  C_  ( dom  B  X.  ran  A )  /\  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 646 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    o. ccom 4885
This theorem is referenced by:  coex  5416  wemapwe  7657  cofsmo  8154  supcvg  12640  imasle  13753  setcco  14243  pwsco1mhm  14774  pwsco2mhm  14775  symgov  15105  symgcl  15106  gsumval3  15519  tngds  18694  climcncf  18935  relexpsucr  25135  f1lindf  27283  mendmulr  27487  climexp  27721  stoweidlem27  27766  stoweidlem31  27770  stoweidlem59  27798  tgrpov  31619  erngmul  31677  erngmul-rN  31685  dvamulr  31883  dvavadd  31886  dvhmulr  31958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892
  Copyright terms: Public domain W3C validator