MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Unicode version

Theorem coexg 5379
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5359 . 2  |-  ( A  o.  B )  C_  ( dom  B  X.  ran  A )
2 dmexg 5097 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  B  e.  _V )
3 rnexg 5098 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
4 xpexg 4956 . . 3  |-  ( ( dom  B  e.  _V  /\ 
ran  A  e.  _V )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )
52, 3, 4syl2anr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( dom  B  X.  ran  A )  e.  _V )
6 ssexg 4317 . 2  |-  ( ( ( A  o.  B
)  C_  ( dom  B  X.  ran  A )  /\  ( dom  B  X.  ran  A )  e. 
_V )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846    o. ccom 4849
This theorem is referenced by:  coex  5380  wemapwe  7618  cofsmo  8113  supcvg  12598  imasle  13711  setcco  14201  pwsco1mhm  14732  pwsco2mhm  14733  symgov  15063  symgcl  15064  gsumval3  15477  tngds  18650  climcncf  18891  relexpsucr  25091  f1lindf  27168  mendmulr  27372  climexp  27606  stoweidlem27  27651  stoweidlem31  27655  stoweidlem59  27683  tgrpov  31242  erngmul  31300  erngmul-rN  31308  dvamulr  31506  dvavadd  31509  dvhmulr  31581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856
  Copyright terms: Public domain W3C validator