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Theorem coflim 7887
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  U. B  <->  x  e.  A ) )
21biimprd 214 . . . 4  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. B ) )
3 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 limord 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ssel2 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
6 ordelon 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
74, 5, 6syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  ( B  C_  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  On )
87expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  On ) )
9 onelss 4434 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
108, 9syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  x  C_  y
) ) )
1110reximdvai 2653 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  x 
C_  y ) )
123, 11syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
132, 12syl9r 67 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) ) )
1413ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
15 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  U. B  C_ 
U. A )
16153ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  C_  U. A )
17 uniss2 3858 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. A  C_  U. B )
18173ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. A  C_  U. B )
1916, 18eqssd 3196 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  = 
U. A )
20 limuni 4452 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
21203ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  A  =  U. A )
2219, 21eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  =  A )
23223expia 1153 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. B  =  A ) )
2414, 23impbid 183 1  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393
This theorem is referenced by:  cflim3  7888  pwcfsdom  8205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397
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