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Theorem coflim 8133
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  U. B  <->  x  e.  A ) )
21biimprd 215 . . . 4  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. B ) )
3 eluni2 4011 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 limord 4632 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ssel2 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
6 ordelon 4597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
74, 5, 6syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  ( B  C_  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  On )
87expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  On ) )
9 onelss 4615 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
108, 9syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  x  C_  y
) ) )
1110reximdvai 2808 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  x 
C_  y ) )
123, 11syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
132, 12syl9r 69 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) ) )
1413ralrimdv 2787 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
15 uniss 4028 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  U. B  C_ 
U. A )
16153ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  C_  U. A )
17 uniss2 4038 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. A  C_  U. B )
18173ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. A  C_  U. B )
1916, 18eqssd 3357 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  = 
U. A )
20 limuni 4633 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
21203ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  A  =  U. A )
2219, 21eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  =  A )
23223expia 1155 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. B  =  A ) )
2414, 23impbid 184 1  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   U.cuni 4007   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574
This theorem is referenced by:  cflim3  8134  pwcfsdom  8450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578
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