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Theorem coflim 7903
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  U. B  <->  x  e.  A ) )
21biimprd 214 . . . 4  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. B ) )
3 eluni2 3847 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 limord 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ssel2 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
6 ordelon 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
74, 5, 6syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  ( B  C_  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  On )
87expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  On ) )
9 onelss 4450 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
108, 9syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  x  C_  y
) ) )
1110reximdvai 2666 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  x 
C_  y ) )
123, 11syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
132, 12syl9r 67 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) ) )
1413ralrimdv 2645 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
15 uniss 3864 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  U. B  C_ 
U. A )
16153ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  C_  U. A )
17 uniss2 3874 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. A  C_  U. B )
18173ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. A  C_  U. B )
1916, 18eqssd 3209 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  = 
U. A )
20 limuni 4468 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
21203ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  A  =  U. A )
2219, 21eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  =  A )
23223expia 1153 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. B  =  A ) )
2414, 23impbid 183 1  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409
This theorem is referenced by:  cflim3  7904  pwcfsdom  8221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413
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