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Theorem coflim 8067
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2441 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  U. B  <->  x  e.  A ) )
21biimprd 215 . . . 4  |-  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. B ) )
3 eluni2 3954 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 limord 4574 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ssel2 3279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
6 ordelon 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
74, 5, 6syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  ( B  C_  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  On )
87expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  On ) )
9 onelss 4557 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
108, 9syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
y  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  x  C_  y
) ) )
1110reximdvai 2752 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  x 
C_  y ) )
123, 11syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  (
x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
132, 12syl9r 69 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  x  C_  y ) ) )
1413ralrimdv 2731 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
15 uniss 3971 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  U. B  C_ 
U. A )
16153ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  C_  U. A )
17 uniss2 3981 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. A  C_  U. B )
18173ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. A  C_  U. B )
1916, 18eqssd 3301 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  = 
U. A )
20 limuni 4575 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
21203ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  A  =  U. A )
2219, 21eqtr4d 2415 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y
)  ->  U. B  =  A )
23223expia 1155 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y  ->  U. B  =  A ) )
2414, 23impbid 184 1  |-  ( ( Lim  A  /\  B  C_  A )  ->  ( U. B  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   U.cuni 3950   Ord word 4514   Oncon0 4515   Lim wlim 4516
This theorem is referenced by:  cflim3  8068  pwcfsdom  8384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520
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