Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofth Structured version   Unicode version

Theorem cofth 14124
 Description: The composition of two faithful functors is faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofth.f Faith
cofth.g Faith
Assertion
Ref Expression
cofth func Faith

Proof of Theorem cofth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 14051 . . 3
2 fthfunc 14096 . . . . 5 Faith
3 cofth.f . . . . 5 Faith
42, 3sseldi 3338 . . . 4
5 fthfunc 14096 . . . . 5 Faith
6 cofth.g . . . . 5 Faith
75, 6sseldi 3338 . . . 4
84, 7cofucl 14077 . . 3 func
9 1st2nd 6385 . . 3 func func func func
101, 8, 9sylancr 645 . 2 func func func
11 1st2ndbr 6388 . . . . 5 func func func
121, 8, 11sylancr 645 . . . 4 func func
13 eqid 2435 . . . . . . . 8
14 eqid 2435 . . . . . . . 8
15 eqid 2435 . . . . . . . 8
16 relfth 14098 . . . . . . . . 9 Faith
176adantr 452 . . . . . . . . 9 Faith
18 1st2ndbr 6388 . . . . . . . . 9 Faith Faith Faith
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . 8 Faith
20 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
21 relfunc 14051 . . . . . . . . . . 11
224adantr 452 . . . . . . . . . . 11
23 1st2ndbr 6388 . . . . . . . . . . 11
2421, 22, 23sylancr 645 . . . . . . . . . 10
2520, 13, 24funcf1 14055 . . . . . . . . 9
26 simprl 733 . . . . . . . . 9
2725, 26ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
28 simprr 734 . . . . . . . . 9
2925, 28ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
3013, 14, 15, 19, 27, 29fthf1 14106 . . . . . . 7
31 eqid 2435 . . . . . . . 8
32 relfth 14098 . . . . . . . . 9 Faith
333adantr 452 . . . . . . . . 9 Faith
34 1st2ndbr 6388 . . . . . . . . 9 Faith Faith Faith
3532, 33, 34sylancr 645 . . . . . . . 8 Faith
3620, 31, 14, 35, 26, 28fthf1 14106 . . . . . . 7
37 f1co 5640 . . . . . . 7
3830, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6
397adantr 452 . . . . . . . 8
4020, 22, 39, 26, 28cofu2nd 14074 . . . . . . 7 func
41 eqidd 2436 . . . . . . 7
4220, 22, 39, 26cofu1 14073 . . . . . . . 8 func
4320, 22, 39, 28cofu1 14073 . . . . . . . 8 func
4442, 43oveq12d 6091 . . . . . . 7 func func
4540, 41, 44f1eq123d 5661 . . . . . 6 func func func
4638, 45mpbird 224 . . . . 5 func func func
4746ralrimivva 2790 . . . 4 func func func
4820, 31, 15isfth2 14104 . . . 4 func Faith func func func func func func
4912, 47, 48sylanbrc 646 . . 3 func Faith func
50 df-br 4205 . . 3 func Faith func func func Faith
5149, 50sylib 189 . 2 func func Faith
5210, 51eqeltrd 2509 1 func Faith
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809   class class class wbr 4204   ccom 4874   wrel 4875  wf1 5443  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cbs 13461   chom 13532   cfunc 14043   func ccofu 14045   Faith cfth 14092 This theorem is referenced by:  coffth  14125 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-map 7012  df-ixp 7056  df-cat 13885  df-cid 13886  df-func 14047  df-cofu 14049  df-fth 14094
 Copyright terms: Public domain W3C validator