Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofu2nd Structured version   Unicode version

Theorem cofu2nd 14074
 Description: Value of the morphism part of the functor composition. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofuval.b
cofuval.f
cofuval.g
cofu2nd.x
cofu2nd.y
Assertion
Ref Expression
cofu2nd func

Proof of Theorem cofu2nd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofuval.b . . . . 5
2 cofuval.f . . . . 5
3 cofuval.g . . . . 5
41, 2, 3cofuval 14071 . . . 4 func
54fveq2d 5724 . . 3 func
6 fvex 5734 . . . . 5
7 fvex 5734 . . . . 5
86, 7coex 5405 . . . 4
9 fvex 5734 . . . . . 6
101, 9eqeltri 2505 . . . . 5
1110, 10mpt2ex 6417 . . . 4
128, 11op2nd 6348 . . 3
135, 12syl6eq 2483 . 2 func
14 simprl 733 . . . . 5
1514fveq2d 5724 . . . 4
16 simprr 734 . . . . 5
1716fveq2d 5724 . . . 4
1815, 17oveq12d 6091 . . 3
1914, 16oveq12d 6091 . . 3
2018, 19coeq12d 5029 . 2
21 cofu2nd.x . 2
22 cofu2nd.y . 2
23 ovex 6098 . . . 4
24 ovex 6098 . . . 4
2523, 24coex 5405 . . 3
2625a1i 11 . 2
2713, 20, 21, 22, 26ovmpt2d 6193 1 func
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  cop 3809   ccom 4874  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  cbs 13461   cfunc 14043   func ccofu 14045 This theorem is referenced by:  cofu2  14075  cofucl  14077  cofuass  14078  cofull  14123  cofth  14124  catciso  14254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-ixp 7056  df-func 14047  df-cofu 14049
 Copyright terms: Public domain W3C validator