Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofuass Structured version   Unicode version

Theorem cofuass 14078
 Description: Functor composition is associative. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofuass.g
cofuass.h
cofuass.k
Assertion
Ref Expression
cofuass func func func func

Proof of Theorem cofuass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5380 . . . 4
2 eqid 2435 . . . . . 6
3 cofuass.h . . . . . 6
4 cofuass.k . . . . . 6
52, 3, 4cofu1st 14072 . . . . 5 func
65coeq1d 5026 . . . 4 func
7 eqid 2435 . . . . . 6
8 cofuass.g . . . . . 6
97, 8, 3cofu1st 14072 . . . . 5 func
109coeq2d 5027 . . . 4 func
111, 6, 103eqtr4a 2493 . . 3 func func
12 coass 5380 . . . . 5
1333ad2ant1 978 . . . . . . 7
1443ad2ant1 978 . . . . . . 7
15 relfunc 14051 . . . . . . . . . . 11
16 1st2ndbr 6388 . . . . . . . . . . 11
1715, 8, 16sylancr 645 . . . . . . . . . 10
18173ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
197, 2, 18funcf1 14055 . . . . . . . 8
20 simp2 958 . . . . . . . 8
2119, 20ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
22 simp3 959 . . . . . . . 8
2319, 22ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
242, 13, 14, 21, 23cofu2nd 14074 . . . . . 6 func
2524coeq1d 5026 . . . . 5 func
2683ad2ant1 978 . . . . . . . 8
277, 26, 13, 20cofu1 14073 . . . . . . 7 func
287, 26, 13, 22cofu1 14073 . . . . . . 7 func
2927, 28oveq12d 6091 . . . . . 6 func func
307, 26, 13, 20, 22cofu2nd 14074 . . . . . 6 func
3129, 30coeq12d 5029 . . . . 5 func func func
3212, 25, 313eqtr4a 2493 . . . 4 func func func func
3332mpt2eq3dva 6130 . . 3 func func func func
3411, 33opeq12d 3984 . 2 func func func func func func
353, 4cofucl 14077 . . 3 func
367, 8, 35cofuval 14071 . 2 func func func func
378, 3cofucl 14077 . . 3 func
387, 37, 4cofuval 14071 . 2 func func func func func func
3934, 36, 383eqtr4d 2477 1 func func func func
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204   ccom 4874   wrel 4875  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  cbs 13461   cfunc 14043   func ccofu 14045 This theorem is referenced by:  catccatid  14249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-map 7012  df-ixp 7056  df-cat 13885  df-cid 13886  df-func 14047  df-cofu 14049
 Copyright terms: Public domain W3C validator