Theorem cofunex2g 3581

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofunexg 3580	. . . 4 |- ((Fun `'B /\ `'A e. V) -> (`'B o. `'A) e. V)
2		cnvexg 3519	. . . 4 |- (A e. C -> `'A e. V)
3	1, 2	sylan2 451	. . 3 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (`'B o. `'A) e. V)
4		cnvexg 3519	. . . 4 |- ((`'B o. `'A) e. V -> `'(`'B o. `'A) e. V)
5		cnvco 3300	. . . . 5 |- `'(`'B o. `'A) = (`'`'A o. `'`'B)
6		cocnvcnv2 3506	. . . . 5 |- (`'`'A o. `'`'B) = (`'`'A o. B)
7		cocnvcnv1 3505	. . . . 5 |- (`'`'A o. B) = (A o. B)
8	5, 6, 7	3eqtrr 1500	. . . 4 |- (A o. B) = `'(`'B o. `'A)
9	4, 8	syl5eqel 1552	. . 3 |- ((`'B o. `'A) e. V -> (A o. B) e. V)
10	3, 9	syl 10	. 2 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (A o. B) e. V)
11	10	ancoms 436	1 |- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811  `'ccnv 3169   o. ccom 3174  Fun wfun 3176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain