MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Unicode version

Theorem cofunex2g 5781
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 5245 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )
2 cofunexg 5780 . . . 4  |-  ( ( Fun  `' B  /\  `' A  e.  _V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
31, 2sylan2 460 . . 3  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
4 cnvco 4902 . . . . 5  |-  `' ( `' B  o.  `' A )  =  ( `' `' A  o.  `' `' B )
5 cocnvcnv2 5221 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  `' `' B )  =  ( `' `' A  o.  B
)
6 cocnvcnv1 5220 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  B
)  =  ( A  o.  B )
74, 5, 63eqtrri 2341 . . . 4  |-  ( A  o.  B )  =  `' ( `' B  o.  `' A )
8 cnvexg 5245 . . . 4  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  `' ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
97, 8syl5eqel 2400 . . 3  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
103, 9syl 15 . 2  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
1110ancoms 439 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   `'ccnv 4725    o. ccom 4730   Fun wfun 5286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300
  Copyright terms: Public domain W3C validator