Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofuval Structured version   Unicode version

Theorem cofuval 14081
 Description: Value of the composition of two functors. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cofuval.b
cofuval.f
cofuval.g
Assertion
Ref Expression
cofuval func
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cofuval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cofu 14059 . . 3 func
21a1i 11 . 2 func
3 simprl 734 . . . . 5
43fveq2d 5734 . . . 4
5 simprr 735 . . . . 5
65fveq2d 5734 . . . 4
74, 6coeq12d 5039 . . 3
85fveq2d 5734 . . . . . . . 8
98dmeqd 5074 . . . . . . 7
10 cofuval.b . . . . . . . . . 10
11 relfunc 14061 . . . . . . . . . . 11
12 cofuval.f . . . . . . . . . . 11
13 1st2ndbr 6398 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 13sylancr 646 . . . . . . . . . 10
1510, 14funcfn2 14068 . . . . . . . . 9
16 fndm 5546 . . . . . . . . 9
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8
1817adantr 453 . . . . . . 7
199, 18eqtrd 2470 . . . . . 6
2019dmeqd 5074 . . . . 5
21 dmxpid 5091 . . . . 5
2220, 21syl6eq 2486 . . . 4
233fveq2d 5734 . . . . . 6
246fveq1d 5732 . . . . . 6
256fveq1d 5732 . . . . . 6
2623, 24, 25oveq123d 6104 . . . . 5
278oveqd 6100 . . . . 5
2826, 27coeq12d 5039 . . . 4
2922, 22, 28mpt2eq123dv 6138 . . 3
307, 29opeq12d 3994 . 2
31 cofuval.g . . 3
32 elex 2966 . . 3
3331, 32syl 16 . 2
34 elex 2966 . . 3
3512, 34syl 16 . 2
36 opex 4429 . . 3
3736a1i 11 . 2
382, 30, 33, 35, 37ovmpt2d 6203 1 func
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cop 3819   class class class wbr 4214   cxp 4878   cdm 4880   ccom 4884   wrel 4885   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1st 6349  c2nd 6350  cbs 13471   cfunc 14053   func ccofu 14055 This theorem is referenced by:  cofu1st  14082  cofu2nd  14084  cofuval2  14086  cofucl  14087  cofuass  14088  cofulid  14089  cofurid  14090  prf1st  14303  prf2nd  14304 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-ixp 7066  df-func 14057  df-cofu 14059
 Copyright terms: Public domain W3C validator