MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coiun Unicode version

Theorem coiun 5198
Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
coiun  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem coiun
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5187 . 2  |-  Rel  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )
2 reliun 4822 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  A. x  e.  C  Rel  ( A  o.  B
) )
3 relco 5187 . . . 4  |-  Rel  ( A  o.  B )
43a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  Rel  ( A  o.  B
) )
52, 4mprgbir 2626 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
6 eliun 3925 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  w >.  e. 
U_ x  e.  C  B 
<->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B )
7 df-br 4040 . . . . . . . 8  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  <. y ,  w >.  e.  U_ x  e.  C  B )
8 df-br 4040 . . . . . . . . 9  |-  ( y B w  <->  <. y ,  w >.  e.  B
)
98rexbii 2581 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  C  y B w  <->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B
)
106, 7, 93bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  E. x  e.  C  y B w )
1110anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
12 r19.41v 2706 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
1311, 12bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1413exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
15 rexcom4 2820 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1614, 15bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
17 vex 2804 . . . 4  |-  y  e. 
_V
18 vex 2804 . . . 4  |-  z  e. 
_V
1917, 18opelco 4869 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  E. w ( y
U_ x  e.  C  B w  /\  w A z ) )
20 eliun 3925 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
) )
2117, 18opelco 4869 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2221rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2320, 22bitri 240 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2416, 19, 233bitr4i 268 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B ) )
251, 5, 24eqrelriiv 4797 1  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  fparlem3  6236  fparlem4  6237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-co 4714
  Copyright terms: Public domain W3C validator