MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coiun Unicode version

Theorem coiun 5182
Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
coiun  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem coiun
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5171 . 2  |-  Rel  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )
2 reliun 4806 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  A. x  e.  C  Rel  ( A  o.  B
) )
3 relco 5171 . . . 4  |-  Rel  ( A  o.  B )
43a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  Rel  ( A  o.  B
) )
52, 4mprgbir 2613 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
6 eliun 3909 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  w >.  e. 
U_ x  e.  C  B 
<->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B )
7 df-br 4024 . . . . . . . 8  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  <. y ,  w >.  e.  U_ x  e.  C  B )
8 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( y B w  <->  <. y ,  w >.  e.  B
)
98rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  C  y B w  <->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B
)
106, 7, 93bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  E. x  e.  C  y B w )
1110anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
12 r19.41v 2693 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
1311, 12bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1413exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
15 rexcom4 2807 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1614, 15bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
17 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
18 vex 2791 . . . 4  |-  z  e. 
_V
1917, 18opelco 4853 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  E. w ( y
U_ x  e.  C  B w  /\  w A z ) )
20 eliun 3909 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
) )
2117, 18opelco 4853 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2221rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2320, 22bitri 240 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2416, 19, 233bitr4i 268 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B ) )
251, 5, 24eqrelriiv 4781 1  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   <.cop 3643   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  fparlem3  6220  fparlem4  6221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-co 4698
  Copyright terms: Public domain W3C validator