Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  colinbtwnle Structured version   Unicode version

Theorem colinbtwnle 26044
 Description: Given three colinear points , , and , falls in the middle iff the two segments to are no longer than . Theorem 5.12 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
colinbtwnle

Proof of Theorem colinbtwnle
StepHypRef Expression
1 btwnsegle 26043 . . . . 5
2 3anrev 947 . . . . . . 7
3 btwnsegle 26043 . . . . . . 7
42, 3sylan2b 462 . . . . . 6
5 3ancoma 943 . . . . . . 7
6 btwncom 25940 . . . . . . 7
75, 6sylan2b 462 . . . . . 6
8 simpl 444 . . . . . . . 8
9 simpr2 964 . . . . . . . 8
10 simpr3 965 . . . . . . . 8
118, 9, 10cgrrflx2d 25910 . . . . . . 7 Cgr
12 simpr1 963 . . . . . . . 8
138, 12, 10cgrrflx2d 25910 . . . . . . 7 Cgr
14 seglecgr12 26037 . . . . . . . 8 Cgr Cgr
158, 9, 10, 12, 10, 10, 9, 10, 12, 14syl333anc 1216 . . . . . . 7 Cgr Cgr
1611, 13, 15mp2and 661 . . . . . 6
174, 7, 163imtr4d 260 . . . . 5
181, 17jcad 520 . . . 4
20 brcolinear 25985 . . . . 5
21 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
228, 12, 9, 10, 21btwncomand 25941 . . . . . . . . . . 11
2316biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12
25 btwncom 25940 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 3anrot 941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 btwnsegle 26043 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
2925, 28sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14
3029imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12
32 segleantisym 26041 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr
338, 10, 9, 10, 12, 32syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . 13 Cgr
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Cgr
3524, 31, 34mp2and 661 . . . . . . . . . . 11 Cgr
368, 10, 9, 12, 22, 35endofsegidand 26012 . . . . . . . . . 10
37 btwntriv1 25942 . . . . . . . . . . . . 13
38373adant3r2 1163 . . . . . . . . . . . 12
39 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9
4342expr 599 . . . . . . . 8
4443adantld 454 . . . . . . 7
4544ex 424 . . . . . 6
467biimprd 215 . . . . . . 7
4746a1dd 44 . . . . . 6
48 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
49 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
50 3ancomb 945 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 btwnsegle 26043 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 51sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . 14
5352imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
5453adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12
55 segleantisym 26041 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr
568, 12, 9, 12, 10, 55syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . 13 Cgr
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Cgr
5849, 54, 57mp2and 661 . . . . . . . . . . 11 Cgr
598, 12, 9, 10, 48, 58endofsegidand 26012 . . . . . . . . . 10
60 btwntriv2 25938 . . . . . . . . . . . . 13
61603adant3r2 1163 . . . . . . . . . . . 12
62 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10
6559, 64mpd 15 . . . . . . . . 9
6665expr 599 . . . . . . . 8
6766adantrd 455 . . . . . . 7
6867ex 424 . . . . . 6
6945, 47, 683jaod 1248 . . . . 5
7020, 69sylbid 207 . . . 4
7170imp 419 . . 3
7219, 71impbid 184 . 2
7372ex 424 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3o 935   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204  cfv 5446  cn 9992  cee 25819   cbtwn 25820  Cgrccgr 25821   ccolin 25963   csegle 26032 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ee 25822  df-btwn 25823  df-cgr 25824  df-ofs 25909  df-ifs 25965  df-cgr3 25966  df-colinear 25967  df-segle 26033
 Copyright terms: Public domain W3C validator