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Theorem colinearalglem1 23945
Description: Lemma for colinearalg 23949. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  B  e.  CC )
2 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9157 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
4 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  F  e.  CC )
5 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  D  e.  CC )
63, 4, 5subdid 9235 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F
)  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) ) )
71, 2, 4subdird 9236 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  F )  =  ( ( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) ) )
81, 2, 5subdird 9236 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  D )  =  ( ( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
97, 8oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  F )  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F
) )  -  (
( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
10 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
11 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  F  e.  CC )
12 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  F )  e.  CC )
14 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
15 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
1614, 11, 15syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  F )  e.  CC )
1713, 16subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  e.  CC )
18 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
19 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
2010, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
21 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
2214, 18, 21syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
2317, 20, 22subsub3d 9187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( ( B  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( B  x.  D )
) )
2417, 22, 20addsubd 9178 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
259, 23, 243eqtrrd 2320 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F )  -  (
( B  -  A
)  x.  D ) ) )
2613, 16, 20subsub4d 9188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) ) )
2726oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
286, 25, 273eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
29 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  E  e.  CC )
3029, 5subcld 9157 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( E  -  D )  e.  CC )
31 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  C  e.  CC )
3231, 2subcld 9157 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
3330, 32mulcomd 8856 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( C  -  A
)  x.  ( E  -  D ) ) )
3432, 29, 5subdid 9235 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  ( E  -  D
) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E
)  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) ) )
3531, 2, 29subdird 9236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  E )  =  ( ( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) ) )
3631, 2, 5subdird 9236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  D )  =  ( ( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
3735, 36oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E
) )  -  (
( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
38 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
39 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  E  e.  CC )
40 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( C  x.  E
)  e.  CC )
4138, 39, 40syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  E )  e.  CC )
42 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
4314, 39, 42syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
4441, 43subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  e.  CC )
45 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  x.  D
)  e.  CC )
4638, 18, 45syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  D )  e.  CC )
4744, 46, 22subsub3d 9187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( ( C  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( C  x.  D )
) )
4844, 22, 46addsubd 9178 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
4937, 47, 483eqtrrd 2320 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E )  -  (
( C  -  A
)  x.  D ) ) )
5041, 43, 46subsub4d 9188 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) )
5150oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5249, 51eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5333, 34, 523eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5428, 53eqeq12d 2297 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) ) )
5516, 20addcld 8854 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
5613, 55subcld 9157 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  e.  CC )
5743, 46addcld 8854 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) )  e.  CC )
5841, 57subcld 9157 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC )
5956, 58, 22addcan2d 9016 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  +  ( A  x.  D
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
6054, 59bitrd 244 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  23946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
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