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Theorem colinearalglem1 25837
Description: Lemma for colinearalg 25841. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  B  e.  CC )
2 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9403 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
4 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  F  e.  CC )
5 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  D  e.  CC )
63, 4, 5subdid 9481 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F
)  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) ) )
71, 2, 4subdird 9482 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  F )  =  ( ( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) ) )
81, 2, 5subdird 9482 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  D )  =  ( ( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
97, 8oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  F )  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F
) )  -  (
( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
10 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
11 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  F  e.  CC )
12 mulcl 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  F )  e.  CC )
14 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
15 mulcl 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
1614, 11, 15syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  F )  e.  CC )
1713, 16subcld 9403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  e.  CC )
18 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
19 mulcl 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
2010, 18, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
21 mulcl 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
2214, 18, 21syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
2317, 20, 22subsub3d 9433 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( ( B  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( B  x.  D )
) )
2417, 22, 20addsubd 9424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
259, 23, 243eqtrrd 2472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F )  -  (
( B  -  A
)  x.  D ) ) )
2613, 16, 20subsub4d 9434 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) ) )
2726oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
286, 25, 273eqtr2d 2473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
29 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  E  e.  CC )
3029, 5subcld 9403 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( E  -  D )  e.  CC )
31 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  C  e.  CC )
3231, 2subcld 9403 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
3330, 32mulcomd 9101 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( C  -  A
)  x.  ( E  -  D ) ) )
3432, 29, 5subdid 9481 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  ( E  -  D
) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E
)  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) ) )
3531, 2, 29subdird 9482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  E )  =  ( ( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) ) )
3631, 2, 5subdird 9482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  D )  =  ( ( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
3735, 36oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E
) )  -  (
( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
38 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
39 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  E  e.  CC )
40 mulcl 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( C  x.  E
)  e.  CC )
4138, 39, 40syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  E )  e.  CC )
42 mulcl 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
4314, 39, 42syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
4441, 43subcld 9403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  e.  CC )
45 mulcl 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  x.  D
)  e.  CC )
4638, 18, 45syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  D )  e.  CC )
4744, 46, 22subsub3d 9433 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( ( C  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( C  x.  D )
) )
4844, 22, 46addsubd 9424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
4937, 47, 483eqtrrd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E )  -  (
( C  -  A
)  x.  D ) ) )
5041, 43, 46subsub4d 9434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) )
5150oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5249, 51eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5333, 34, 523eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5428, 53eqeq12d 2449 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) ) )
5516, 20addcld 9099 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
5613, 55subcld 9403 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  e.  CC )
5743, 46addcld 9099 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) )  e.  CC )
5841, 57subcld 9403 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC )
5956, 58, 22addcan2d 9262 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  +  ( A  x.  D
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
6054, 59bitrd 245 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   CCcc 8980    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  25838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285
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