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Theorem colinearalglem1 25559
Description: Lemma for colinearalg 25563. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  B  e.  CC )
2 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9343 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
4 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  F  e.  CC )
5 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  D  e.  CC )
63, 4, 5subdid 9421 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F
)  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) ) )
71, 2, 4subdird 9422 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  F )  =  ( ( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) ) )
81, 2, 5subdird 9422 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  D )  =  ( ( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
97, 8oveq12d 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  F )  -  ( ( B  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F
) )  -  (
( B  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
10 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
11 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  F  e.  CC )
12 mulcl 9007 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  F )  e.  CC )
14 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
15 mulcl 9007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
1614, 11, 15syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  F )  e.  CC )
1713, 16subcld 9343 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  e.  CC )
18 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
19 mulcl 9007 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( B  x.  D
)  e.  CC )
2010, 18, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( B  x.  D )  e.  CC )
21 mulcl 9007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
2214, 18, 21syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
2317, 20, 22subsub3d 9373 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( ( B  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( B  x.  D )
) )
2417, 22, 20addsubd 9364 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( ( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
259, 23, 243eqtrrd 2424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  -  A )  x.  F )  -  (
( B  -  A
)  x.  D ) ) )
2613, 16, 20subsub4d 9374 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( A  x.  F ) )  -  ( B  x.  D ) )  =  ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) ) )
2726oveq1d 6035 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  ( A  x.  F )
)  -  ( B  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
286, 25, 273eqtr2d 2425 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  -  A )  x.  ( F  -  D
) )  =  ( ( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
29 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  E  e.  CC )
3029, 5subcld 9343 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( E  -  D )  e.  CC )
31 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  C  e.  CC )
3231, 2subcld 9343 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
3330, 32mulcomd 9042 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( C  -  A
)  x.  ( E  -  D ) ) )
3432, 29, 5subdid 9421 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  ( E  -  D
) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E
)  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) ) )
3531, 2, 29subdird 9422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  E )  =  ( ( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) ) )
3631, 2, 5subdird 9422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  -  A )  x.  D )  =  ( ( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) )
3735, 36oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E
) )  -  (
( C  x.  D
)  -  ( A  x.  D ) ) ) )
38 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
39 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  E  e.  CC )
40 mulcl 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( C  x.  E
)  e.  CC )
4138, 39, 40syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  E )  e.  CC )
42 mulcl 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  E  e.  CC )  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
4314, 39, 42syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( A  x.  E )  e.  CC )
4441, 43subcld 9343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  e.  CC )
45 mulcl 9007 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  x.  D
)  e.  CC )
4638, 18, 45syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( C  x.  D )  e.  CC )
4744, 46, 22subsub3d 9373 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( ( C  x.  D )  -  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  +  ( A  x.  D
) )  -  ( C  x.  D )
) )
4844, 22, 46addsubd 9364 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  +  ( A  x.  D ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( ( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D
) )  +  ( A  x.  D ) ) )
4937, 47, 483eqtrrd 2424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  -  A )  x.  E )  -  (
( C  -  A
)  x.  D ) ) )
5041, 43, 46subsub4d 9374 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  x.  E
)  -  ( A  x.  E ) )  -  ( C  x.  D ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) )
5150oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( C  x.  E )  -  ( A  x.  E )
)  -  ( C  x.  D ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5249, 51eqtr3d 2421 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( C  -  A
)  x.  E )  -  ( ( C  -  A )  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5333, 34, 523eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) )
5428, 53eqeq12d 2401 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( (
( B  x.  F
)  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) ) ) )
5516, 20addcld 9040 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D ) )  e.  CC )
5613, 55subcld 9343 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  e.  CC )
5743, 46addcld 9040 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D ) )  e.  CC )
5841, 57subcld 9343 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC )
5956, 58, 22addcan2d 9202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( ( B  x.  F )  -  (
( A  x.  F
)  +  ( B  x.  D ) ) )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( ( C  x.  E )  -  ( ( A  x.  E )  +  ( C  x.  D
) ) )  +  ( A  x.  D
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
6054, 59bitrd 245 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC  /\  F  e.  CC )
)  ->  ( (
( B  -  A
)  x.  ( F  -  D ) )  =  ( ( E  -  D )  x.  ( C  -  A
) )  <->  ( ( B  x.  F )  -  ( ( A  x.  F )  +  ( B  x.  D
) ) )  =  ( ( C  x.  E )  -  (
( A  x.  E
)  +  ( C  x.  D ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   CCcc 8921    + caddc 8926    x. cmul 8928    - cmin 9223
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  25560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225
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