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Theorem colinearalglem2 25561
Description: Lemma for colinearalg 25564. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
2 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
3 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
5 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
6 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
75, 2, 6syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  i
)  e.  CC )
8 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
9 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
108, 2, 9syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
12 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
131, 11, 12syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  j
)  e.  CC )
14 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
155, 11, 14syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  j
)  e.  CC )
16 fveecn 25556 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
178, 11, 16syl2an 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  j
)  e.  CC )
18 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
19 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
20 mulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
22 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
23 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
24 mulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
2621, 25addcld 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
27 mulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2822, 19, 27syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
2926, 28subcld 9344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
30 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
31 mulcl 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3218, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
33 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
34 mulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
3533, 23, 34syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
36 mulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3733, 30, 36syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
3835, 37subcld 9344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
3929, 32, 38subadd2d 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
40 eqcom 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  <->  ( (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )
4139, 40syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4235, 32, 37addsubd 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4335, 32addcomd 9201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
4443oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4542, 44eqtr3d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4645eqeq2d 2399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4741, 46bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4826, 28, 32subsub4d 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
4928, 32addcld 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5021, 49, 25subsub3d 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5128, 25, 32subsub3d 9374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
5251eqcomd 2393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5352oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
5425, 32subcld 9344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5521, 28, 54subsubd 9372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5653, 55eqtrd 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5748, 50, 563eqtr2d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5821, 28subcld 9344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
5958, 25, 32addsub12d 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6021, 28, 32subsub4d 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6160oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6259, 61eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6357, 62eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6463eqeq1d 2396 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
6532, 35addcld 9041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
66 subeqrev 24977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC  /\  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )  /\  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
6726, 28, 65, 37, 66syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  -  ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) ) ) ) )
6847, 64, 673bitr3rd 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
69 eqcom 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )
7021, 49subcld 9344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  e.  CC )
7138, 25, 70subaddd 9362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7269, 71syl5rbbr 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) ) )
7335, 37, 25sub32d 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
7435, 25, 37subsub4d 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7675eqeq2d 2399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
7772, 76bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
78 eqcom 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7977, 78syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
8068, 79bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
81 colinearalglem1 25560 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
82 3anrot 941 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  <->  ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `
 i )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC ) )
83 3anrot 941 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  <->  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( A `
 j )  e.  CC ) )
84 colinearalglem1 25560 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  i )  e.  CC )  /\  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8582, 83, 84syl2anb 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8680, 81, 853bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
874, 7, 10, 13, 15, 17, 86syl33anc 1199 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
88872ralbidva 2690 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   ...cfz 10976   EEcee 25542
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  25562  colinearalg  25564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226  df-neg 9227  df-ee 25545
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