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Theorem colinearalglem2 24607
Description: Lemma for colinearalg 24610. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
2 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  ( 1 ... N ) )
3 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
41, 2, 3syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
5 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
6 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
75, 2, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  i
)  e.  CC )
8 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
9 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
108, 2, 9syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  j  e.  ( 1 ... N ) )
12 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
131, 11, 12syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( A `  j
)  e.  CC )
14 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
155, 11, 14syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( B `  j
)  e.  CC )
16 fveecn 24602 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
178, 11, 16syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( C `  j
)  e.  CC )
18 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
19 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
20 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
22 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
23 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
24 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
2621, 25addcld 8870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
27 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
2822, 19, 27syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  e.  CC )
2926, 28subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
30 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
31 mulcl 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3218, 30, 31syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
33 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
34 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
3533, 23, 34syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  e.  CC )
36 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  e.  CC )
3733, 30, 36syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  e.  CC )
3835, 37subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
3929, 32, 38subadd2d 9192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
40 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  <->  ( (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )
4139, 40syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4235, 32, 37addsubd 9194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4335, 32addcomd 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4542, 44eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
4645eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4741, 46bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
4826, 28, 32subsub4d 9204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
4928, 32addcld 8870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5021, 49, 25subsub3d 9203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5128, 25, 32subsub3d 9203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )
5251eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5352oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
5425, 32subcld 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  e.  CC )
5521, 28, 54subsubd 9201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5653, 55eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5748, 50, 563eqtr2d 2334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) ) )  +  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
5821, 28subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  e.  CC )
5958, 25, 32addsub12d 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6021, 28, 32subsub4d 9204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6259, 61eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  +  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6357, 62eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  -  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
6463eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
6532, 35addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC )
66 subeqrev 24107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  e.  CC  /\  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )  /\  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
) )  =  ( ( ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
6726, 28, 65, 37, 66syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) ) )  =  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
)  -  ( ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) ) ) ) ) )
6847, 64, 673bitr3rd 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
69 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) ) )
7021, 49subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  e.  CC )
7138, 25, 70subaddd 9191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7269, 71syl5rbbr 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) ) )
7335, 37, 25sub32d 9205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )
7435, 25, 37subsub4d 9204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) )  -  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) )
7675eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) )  -  (
( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
7772, 76bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
78 eqcom 2298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  <->  ( (
( C `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j )
) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) ) )
7977, 78syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  +  ( ( A `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
8068, 79bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
) ) )  =  ( ( ( C `
 i )  x.  ( B `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  <->  ( ( ( C `  i )  x.  ( A `  j ) )  -  ( ( ( B `
 i )  x.  ( A `  j
) )  +  ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  -  ( ( ( B `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  +  ( ( A `
 i )  x.  ( B `  j
) ) ) ) ) )
81 colinearalglem1 24606 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( B `
 i )  x.  ( C `  j
) )  -  (
( ( A `  i )  x.  ( C `  j )
)  +  ( ( B `  i )  x.  ( A `  j ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  x.  ( B `
 j ) )  -  ( ( ( A `  i )  x.  ( B `  j ) )  +  ( ( C `  i )  x.  ( A `  j )
) ) ) ) )
82 3anrot 939 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  <->  ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `
 i )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC ) )
83 3anrot 939 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  <->  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( A `
 j )  e.  CC ) )
84 colinearalglem1 24606 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B `  i )  e.  CC  /\  ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( A `  i )  e.  CC )  /\  ( ( B `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8582, 83, 84syl2anb 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( C `  i
)  -  ( B `
 i ) )  x.  ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  x.  ( A `  j
) )  -  (
( ( B `  i )  x.  ( A `  j )
)  +  ( ( C `  i )  x.  ( B `  j ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i
)  x.  ( C `
 j ) )  -  ( ( ( B `  i )  x.  ( C `  j ) )  +  ( ( A `  i )  x.  ( B `  j )
) ) ) ) )
8680, 81, 853bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  CC  /\  ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC )  /\  ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( B `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( B `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
874, 7, 10, 13, 15, 17, 86syl33anc 1197 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( i  e.  ( 1 ... N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j )
) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <-> 
( ( ( C `
 i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ) ) )
88872ralbidva 2596 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) A. j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  j )  -  ( A `  j ) ) )  =  ( ( ( B `  j )  -  ( A `  j ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) A. j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( B `  i ) )  x.  ( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) )  =  ( ( ( C `  j )  -  ( B `  j )
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   ...cfz 10798   EEcee 24588
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  24608  colinearalg  24610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ee 24591
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