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Theorem colinearalglem4 24537
Description: Lemma for colinearalg 24538. Prove a disjunction that will be needed in the final proof. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Distinct variable groups:    A, i    C, i    i, K    i, N

Proof of Theorem colinearalglem4
StepHypRef Expression
1 relin01 24089 . . 3  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
21adantl 452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  \/  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K )
)
3 fveere 24529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
43adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
5 fveere 24529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
65adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  RR )
74, 6jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR ) )
8 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  RR )
98recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  e.  CC )
10 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  RR  /\  ( A `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1110ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  RR  /\  ( C `  i )  e.  RR )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1211adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
1312recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
149, 13, 13mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
158, 12remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
1615recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
17 recn 8827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  i )  e.  RR  ->  ( A `  i )  e.  CC )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
1916, 18pncand 9158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  =  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2019oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
2113sqvald 11242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
2314, 20, 223eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  ->  K  <_  0 )
2512sqge0d 11272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
2624, 25jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
2726orcd 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) )
2812resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
29 mulle0b 24087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
308, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( ( K  <_  0  /\  0  <_  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  \/  ( 0  <_  K  /\  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 )  <_  0 ) ) ) )
3127, 30mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( K  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
3223, 31eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_ 
0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
337, 32sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  -> 
( ( ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0 )
3433an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
)
3534ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  <_  0 ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0
)
3635expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  <_  0  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  <_  0
) )
37 recn 8827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C `  i )  e.  RR  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3837ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
3917ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
4111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  RR )
4240, 41remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
4342recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
4438, 39, 43sub32d 9189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
4540recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
4641recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  e.  CC )
47 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
48 subdir 9214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
4947, 48mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5045, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
5146mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
5350, 52eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5438, 43, 39subsub4d 9188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
5544, 53, 543eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
5639, 39, 43sub32d 9189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  -  ( A `
 i ) ) )
5739subidd 9145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( A `  i ) )  =  0 )
5857oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
59 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  =  ( 0  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6058, 59syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( A `  i ) )  -  ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6139, 43, 39subsub4d 9188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )  -  ( A `  i ) )  =  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )
6256, 60, 613eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  =  -u ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) )
6355, 62oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
64 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
65 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
6664, 65mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  (
1  -  K )  e.  RR )
6766ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
6867, 41remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
6968recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  CC )
7069, 43mulneg2d 9233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  -u ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7167recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
7271, 46, 45, 46mul4d 9024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
7372negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  x.  ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7463, 70, 733eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  =  -u (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
7567, 40remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  K )  e.  RR )
7641resqcld 11271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
77 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  K  e.  RR )
7864, 77, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
79 subge0 9287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  K )  <-> 
K  <_  1 ) )
8064, 79mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( 1  -  K )  <->  K  <_  1 ) )
8180biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  K  <_  1 )  -> 
0  <_  ( 1  -  K ) )
8281adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( 1  -  K ) )
83 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  K )
8478, 77, 82, 83mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( ( 1  -  K
)  x.  K ) )
8584adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( 1  -  K
)  x.  K ) )
8641sqge0d 11272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )
8775, 76, 85, 86mulge0d 9349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
8846sqvald 11242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  -  K
)  x.  K )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
9087, 89breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 1  -  K )  x.  K
)  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
9141, 41remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  e.  RR )
9275, 91remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  e.  RR )
9392le0neg2d 9345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
9490, 93mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  -u ( ( ( 1  -  K )  x.  K )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9574, 94eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
967, 95sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  ( (
( C `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9796an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( C `  i )  -  (
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) ) )  x.  ( ( A `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_ 
0 )
9897ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 )
9998expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0 ) )
10037ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  CC )
10117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  CC )
102100, 101negsubdi2d 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  =  ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) ) )
103102oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
104 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( C `  i
)  e.  RR )
105 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( A `  i
)  e.  RR )
106104, 105, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  RR )
107106recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )
108 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
109108ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  RR )
110109, 106remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
111110recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
112107, 111mulneg1d 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ) ) )
113109recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  CC )
114107, 113, 107mul12d 9021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
115107sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) )
116115oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
117114, 116eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) ) )
118117negeqd 9046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
119112, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( -u ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  = 
-u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
120 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  RR )
121120recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  K  e.  CC )
122 subdir 9214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) )  e.  CC )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
12347, 122mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  =  ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) ) )
124121, 107, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( 1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ) ) )
125107mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 1  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )
126125oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
1  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  -  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )
127120, 106remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  RR )
128127recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  e.  CC )
129128, 100, 101subsub3d 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  -  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
130124, 126, 1293eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )
131130oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) ) )
132103, 119, 1313eqtr3rd 2324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  =  -u ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 ) ) )
133106resqcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) ^ 2 )  e.  RR )
134 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
1  <_  K )
135 subge0 9287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
13664, 135mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  ->  (
0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K ) )
137136ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  ( K  -  1 )  <->  1  <_  K )
)
138134, 137mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( K  -  1 ) )
139106sqge0d 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )
140109, 133, 138, 139mulge0d 9349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
0  <_  ( ( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) ^
2 ) ) )
141109, 133remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  e.  RR )
142141le0neg2d 9345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( 0  <_  (
( K  -  1 )  x.  ( ( ( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) ^ 2 ) )  <->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 ) )
143140, 142mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  -u ( ( K  - 
1 )  x.  (
( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) ^ 2 ) )  <_  0 )
144132, 143eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  i )  e.  RR  /\  ( C `  i
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
1457, 144sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  -> 
( ( ( A `
 i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
146145an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i ) )  x.  ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( C `
 i ) ) )  <_  0 )
147146ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( K  e.  RR  /\  1  <_  K ) )  ->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 )
148147expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
1  <_  K  ->  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
14936, 99, 1483orim123d 1260 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  (
( K  <_  0  \/  ( 0  <_  K  /\  K  <_  1 )  \/  1  <_  K
)  ->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) ) )
1502, 149mpd 14 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  K  e.  RR )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( ( ( ( K  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) )  -  ( A `
 i ) )  x.  ( ( C `
 i )  -  ( A `  i ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i )
) )  +  ( A `  i ) ) )  x.  (
( A `  i
)  -  ( ( K  x.  ( ( C `  i )  -  ( A `  i ) ) )  +  ( A `  i ) ) ) )  <_  0  \/  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( C `  i )
)  x.  ( ( ( K  x.  (
( C `  i
)  -  ( A `
 i ) ) )  +  ( A `
 i ) )  -  ( C `  i ) ) )  <_  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   2c2 9795   ...cfz 10782   ^cexp 11104   EEcee 24516
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105  df-ee 24519
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