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Theorem comet 18535
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
21elfvexd 5751 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
4 xmetf 18351 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
6 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
8 xmetcl 18353 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
9 xmetge0 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
10 elxrge0 11000 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
a D b )  e.  RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
12113expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
131, 12sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1413ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
15 ffnov 6166 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
167, 14, 15sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
17 fco 5592 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
183, 16, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
19 opelxpi 4902 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
20 fvco3 5792 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
215, 19, 20syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
22 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
23 df-ov 6076 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2423fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2521, 22, 243eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2625eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
27 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
2827ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
30 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3130eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
32 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3331, 32bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3433rspcv 3040 . . . 4  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3513, 29, 34sylc 58 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
36 xmeteq0 18360 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
37363expb 1154 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
381, 37sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
3926, 35, 383bitrd 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
403adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] 
+oo ) --> RR* )
41133adantr3 1118 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4240, 41ffvelrnd 5863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4316adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
44 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
45 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4643, 44, 45fovrnd 6210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
47 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4843, 44, 47fovrnd 6210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
49 ge0xaddcl 11003 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  (
c D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5046, 48, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5140, 50ffvelrnd 5863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5240, 46ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5340, 48ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5452, 53xaddcld 10872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
55 3anrot 941 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
56 xmettri2 18362 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
5755, 56sylan2br 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
581, 57sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
59 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6059ralrimivva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) ) )
62 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6330breq1d 4214 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6462, 63imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
65 breq2 4208 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
66 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
6766breq2d 4216 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
6865, 67imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) ) )
6964, 68rspc2va 3051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
7041, 50, 61, 69syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) + e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) ) ) )
7158, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) )
72 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
7372ralrimivva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `  x ) + e ( F `  y ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `
 ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
75 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
x + e y )  =  ( ( c D a ) + e y ) )
7675fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  =  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) ) )
77 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x + e y ) )  <_  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) + e y )  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) + e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) + e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 3051 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e
y ) )  <_ 
( ( F `  x ) + e
( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8646, 48, 74, 85syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 10744 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88253adantr3 1118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
895adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
90 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
9144, 45, 90syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
92 fvco3 5792 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9389, 91, 92syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
94 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
95 df-ov 6076 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9695fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9793, 94, 963eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
98 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
9944, 47, 98syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
100 fvco3 5792 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
10189, 99, 100syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
102 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
103 df-ov 6076 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
104103fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
105101, 102, 1043eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10697, 105oveq12d 6091 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) + e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10787, 88, 1063brtr4d 4234 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) + e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1082, 18, 39, 107isxmetd 18348 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   <.cop 3809   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   + ecxad 10700   [,]cicc 10911   * Metcxmt 16678
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  18537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-xmet 16687
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