Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comet Structured version   Unicode version

Theorem comet 18535
 Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1
comet.2
comet.3
comet.4
comet.5
Assertion
Ref Expression
comet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem comet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3
21elfvexd 5751 . 2
3 comet.2 . . 3
4 xmetf 18351 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5
6 ffn 5583 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 xmetcl 18353 . . . . . . . 8
9 xmetge0 18366 . . . . . . . 8
10 elxrge0 11000 . . . . . . . 8
118, 9, 10sylanbrc 646 . . . . . . 7
12113expb 1154 . . . . . 6
131, 12sylan 458 . . . . 5
1413ralrimivva 2790 . . . 4
15 ffnov 6166 . . . 4
167, 14, 15sylanbrc 646 . . 3
17 fco 5592 . . 3
183, 16, 17syl2anc 643 . 2
19 opelxpi 4902 . . . . . 6
20 fvco3 5792 . . . . . 6
215, 19, 20syl2an 464 . . . . 5
22 df-ov 6076 . . . . 5
23 df-ov 6076 . . . . . 6
2423fveq2i 5723 . . . . 5
2521, 22, 243eqtr4g 2492 . . . 4
2625eqeq1d 2443 . . 3
27 comet.3 . . . . . 6
2827ralrimiva 2781 . . . . 5
2928adantr 452 . . . 4
30 fveq2 5720 . . . . . . 7
3130eqeq1d 2443 . . . . . 6
32 eqeq1 2441 . . . . . 6
3331, 32bibi12d 313 . . . . 5
3433rspcv 3040 . . . 4
3513, 29, 34sylc 58 . . 3
36 xmeteq0 18360 . . . . 5
37363expb 1154 . . . 4
381, 37sylan 458 . . 3
3926, 35, 383bitrd 271 . 2
403adantr 452 . . . . 5
41133adantr3 1118 . . . . 5
4240, 41ffvelrnd 5863 . . . 4
4316adantr 452 . . . . . . 7
44 simpr3 965 . . . . . . 7
45 simpr1 963 . . . . . . 7
4643, 44, 45fovrnd 6210 . . . . . 6
47 simpr2 964 . . . . . . 7
4843, 44, 47fovrnd 6210 . . . . . 6
49 ge0xaddcl 11003 . . . . . 6
5046, 48, 49syl2anc 643 . . . . 5
5140, 50ffvelrnd 5863 . . . 4
5240, 46ffvelrnd 5863 . . . . 5
5340, 48ffvelrnd 5863 . . . . 5
5452, 53xaddcld 10872 . . . 4
55 3anrot 941 . . . . . . 7
56 xmettri2 18362 . . . . . . 7
5755, 56sylan2br 463 . . . . . 6
581, 57sylan 458 . . . . 5
59 comet.4 . . . . . . . 8
6059ralrimivva 2790 . . . . . . 7
6160adantr 452 . . . . . 6
62 breq1 4207 . . . . . . . 8
6330breq1d 4214 . . . . . . . 8
6462, 63imbi12d 312 . . . . . . 7
65 breq2 4208 . . . . . . . 8
66 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
6766breq2d 4216 . . . . . . . 8
6865, 67imbi12d 312 . . . . . . 7
6964, 68rspc2va 3051 . . . . . 6
7041, 50, 61, 69syl21anc 1183 . . . . 5
7158, 70mpd 15 . . . 4
72 comet.5 . . . . . . 7
7372ralrimivva 2790 . . . . . 6
7473adantr 452 . . . . 5
75 oveq1 6080 . . . . . . . 8
7675fveq2d 5724 . . . . . . 7
77 fveq2 5720 . . . . . . . 8
7877oveq1d 6088 . . . . . . 7
7976, 78breq12d 4217 . . . . . 6
80 oveq2 6081 . . . . . . . 8
8180fveq2d 5724 . . . . . . 7
82 fveq2 5720 . . . . . . . 8
8382oveq2d 6089 . . . . . . 7
8481, 83breq12d 4217 . . . . . 6
8579, 84rspc2va 3051 . . . . 5
8646, 48, 74, 85syl21anc 1183 . . . 4
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 10744 . . 3
895adantr 452 . . . . . 6
90 opelxpi 4902 . . . . . . 7
9144, 45, 90syl2anc 643 . . . . . 6
92 fvco3 5792 . . . . . 6
9389, 91, 92syl2anc 643 . . . . 5
94 df-ov 6076 . . . . 5
95 df-ov 6076 . . . . . 6
9695fveq2i 5723 . . . . 5
9793, 94, 963eqtr4g 2492 . . . 4
98 opelxpi 4902 . . . . . . 7
9944, 47, 98syl2anc 643 . . . . . 6
100 fvco3 5792 . . . . . 6
10189, 99, 100syl2anc 643 . . . . 5
102 df-ov 6076 . . . . 5
103 df-ov 6076 . . . . . 6
104103fveq2i 5723 . . . . 5
105101, 102, 1043eqtr4g 2492 . . . 4
10697, 105oveq12d 6091 . . 3
10787, 88, 1063brtr4d 4234 . 2
1082, 18, 39, 107isxmetd 18348 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982   cpnf 9109  cxr 9111   cle 9113  cxad 10700  cicc 10911  cxmt 16678 This theorem is referenced by:  stdbdxmet  18537 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-xmet 16687
 Copyright terms: Public domain W3C validator