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Theorem comet 18434
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
21elfvexd 5700 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
3 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
4 xmetf 18269 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
6 ffn 5532 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
8 xmetcl 18271 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
9 xmetge0 18284 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
10 elxrge0 10941 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
a D b )  e.  RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
118, 9, 10sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
12113expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
131, 12sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1413ralrimivva 2742 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
15 ffnov 6114 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
167, 14, 15sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
17 fco 5541 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
183, 16, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
19 opelxpi 4851 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
20 fvco3 5740 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
215, 19, 20syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
22 df-ov 6024 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
23 df-ov 6024 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2423fveq2i 5672 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2521, 22, 243eqtr4g 2445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2625eqeq1d 2396 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
27 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
2827ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
30 fveq2 5669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3130eqeq1d 2396 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
32 eqeq1 2394 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3331, 32bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3433rspcv 2992 . . . 4  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3513, 29, 34sylc 58 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
36 xmeteq0 18278 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
37363expb 1154 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
381, 37sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
3926, 35, 383bitrd 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
403adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] 
+oo ) --> RR* )
41133adantr3 1118 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4240, 41ffvelrnd 5811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4316adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
44 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
45 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4643, 44, 45fovrnd 6158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
47 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4843, 44, 47fovrnd 6158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
49 ge0xaddcl 10944 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  (
c D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5046, 48, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5140, 50ffvelrnd 5811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5240, 46ffvelrnd 5811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5340, 48ffvelrnd 5811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5452, 53xaddcld 10813 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
55 3anrot 941 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
56 xmettri2 18280 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
5755, 56sylan2br 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
581, 57sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
59 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6059ralrimivva 2742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6160adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) ) )
62 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6330breq1d 4164 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6462, 63imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
65 breq2 4158 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
66 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
6766breq2d 4166 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
6865, 67imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) ) )
6964, 68rspc2va 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
7041, 50, 61, 69syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) + e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) ) ) )
7158, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) )
72 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
7372ralrimivva 2742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `  x ) + e ( F `  y ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `
 ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
75 oveq1 6028 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
x + e y )  =  ( ( c D a ) + e y ) )
7675fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  =  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) ) )
77 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 4167 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x + e y ) )  <_  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) + e y )  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) + e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 4167 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) + e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 3003 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e
y ) )  <_ 
( ( F `  x ) + e
( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8646, 48, 74, 85syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8742, 51, 54, 71, 86xrletrd 10685 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88253adantr3 1118 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
895adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
90 opelxpi 4851 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
9144, 45, 90syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
92 fvco3 5740 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9389, 91, 92syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
94 df-ov 6024 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
95 df-ov 6024 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9695fveq2i 5672 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9793, 94, 963eqtr4g 2445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
98 opelxpi 4851 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
9944, 47, 98syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
100 fvco3 5740 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
10189, 99, 100syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
102 df-ov 6024 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
103 df-ov 6024 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
104103fveq2i 5672 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
105101, 102, 1043eqtr4g 2445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10697, 105oveq12d 6039 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) + e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10787, 88, 1063brtr4d 4184 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) + e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1082, 18, 39, 107isxmetd 18266 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   <.cop 3761   class class class wbr 4154    X. cxp 4817    o. ccom 4823    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   0cc0 8924    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    <_ cle 9055   + ecxad 10641   [,]cicc 10852   * Metcxmt 16613
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  18436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-icc 10856  df-xmet 16620
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