Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comet Unicode version

Theorem comet 18075
 Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1
comet.2
comet.3
comet.4
comet.5
Assertion
Ref Expression
comet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem comet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3
2 elfvdm 5570 . . 3
3 elex 2809 . . 3
41, 2, 33syl 18 . 2
5 comet.2 . . 3
6 xmetf 17910 . . . . . 6
71, 6syl 15 . . . . 5
8 ffn 5405 . . . . 5
97, 8syl 15 . . . 4
10 xmetcl 17912 . . . . . . . 8
11 xmetge0 17925 . . . . . . . 8
12 elxrge0 10763 . . . . . . . 8
1310, 11, 12sylanbrc 645 . . . . . . 7
14133expb 1152 . . . . . 6
151, 14sylan 457 . . . . 5
1615ralrimivva 2648 . . . 4
17 ffnov 5964 . . . 4
189, 16, 17sylanbrc 645 . . 3
19 fco 5414 . . 3
205, 18, 19syl2anc 642 . 2
21 opelxpi 4737 . . . . . 6
22 fvco3 5612 . . . . . 6
237, 21, 22syl2an 463 . . . . 5
24 df-ov 5877 . . . . 5
25 df-ov 5877 . . . . . 6
2625fveq2i 5544 . . . . 5
2723, 24, 263eqtr4g 2353 . . . 4
2827eqeq1d 2304 . . 3
29 comet.3 . . . . . 6
3029ralrimiva 2639 . . . . 5
3130adantr 451 . . . 4
32 fveq2 5541 . . . . . . 7
3332eqeq1d 2304 . . . . . 6
34 eqeq1 2302 . . . . . 6
3533, 34bibi12d 312 . . . . 5
3635rspcv 2893 . . . 4
3715, 31, 36sylc 56 . . 3
38 xmeteq0 17919 . . . . 5
39383expb 1152 . . . 4
401, 39sylan 457 . . 3
4128, 37, 403bitrd 270 . 2
425adantr 451 . . . . 5
43153adantr3 1116 . . . . 5
44 ffvelrn 5679 . . . . 5
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . 4
4618adantr 451 . . . . . . 7
47 simpr3 963 . . . . . . 7
48 simpr1 961 . . . . . . 7
49 fovrn 6006 . . . . . . 7
5046, 47, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . 6
51 simpr2 962 . . . . . . 7
52 fovrn 6006 . . . . . . 7
5346, 47, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6
54 ge0xaddcl 10766 . . . . . 6
5550, 53, 54syl2anc 642 . . . . 5
56 ffvelrn 5679 . . . . 5
5742, 55, 56syl2anc 642 . . . 4
58 ffvelrn 5679 . . . . . 6
5942, 50, 58syl2anc 642 . . . . 5
60 ffvelrn 5679 . . . . . 6
6142, 53, 60syl2anc 642 . . . . 5
6259, 61xaddcld 10637 . . . 4
63 3anrot 939 . . . . . . 7
64 xmettri2 17921 . . . . . . 7
6563, 64sylan2br 462 . . . . . 6
661, 65sylan 457 . . . . 5
67 comet.4 . . . . . . . 8
6867ralrimivva 2648 . . . . . . 7
6968adantr 451 . . . . . 6
70 breq1 4042 . . . . . . . 8
7132breq1d 4049 . . . . . . . 8
7270, 71imbi12d 311 . . . . . . 7
73 breq2 4043 . . . . . . . 8
74 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
7574breq2d 4051 . . . . . . . 8
7673, 75imbi12d 311 . . . . . . 7
7772, 76rspc2va 2904 . . . . . 6
7843, 55, 69, 77syl21anc 1181 . . . . 5
7966, 78mpd 14 . . . 4
80 comet.5 . . . . . . 7
8180ralrimivva 2648 . . . . . 6
8281adantr 451 . . . . 5
83 oveq1 5881 . . . . . . . 8
8483fveq2d 5545 . . . . . . 7
85 fveq2 5541 . . . . . . . 8
8685oveq1d 5889 . . . . . . 7
8784, 86breq12d 4052 . . . . . 6
88 oveq2 5882 . . . . . . . 8
8988fveq2d 5545 . . . . . . 7
90 fveq2 5541 . . . . . . . 8
9190oveq2d 5890 . . . . . . 7
9289, 91breq12d 4052 . . . . . 6
9387, 92rspc2va 2904 . . . . 5
9450, 53, 82, 93syl21anc 1181 . . . 4
9545, 57, 62, 79, 94xrletrd 10509 . . 3
977adantr 451 . . . . . 6
98 opelxpi 4737 . . . . . . 7
9947, 48, 98syl2anc 642 . . . . . 6
100 fvco3 5612 . . . . . 6
10197, 99, 100syl2anc 642 . . . . 5
102 df-ov 5877 . . . . 5
103 df-ov 5877 . . . . . 6
104103fveq2i 5544 . . . . 5
105101, 102, 1043eqtr4g 2353 . . . 4
106 opelxpi 4737 . . . . . . 7
10747, 51, 106syl2anc 642 . . . . . 6
108 fvco3 5612 . . . . . 6
10997, 107, 108syl2anc 642 . . . . 5
110 df-ov 5877 . . . . 5
111 df-ov 5877 . . . . . 6
112111fveq2i 5544 . . . . 5
113109, 110, 1123eqtr4g 2353 . . . 4
114105, 113oveq12d 5892 . . 3
11595, 96, 1143brtr4d 4069 . 2
1164, 20, 41, 115isxmetd 17907 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703   cdm 4705   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc0 8753   cpnf 8880  cxr 8882   cle 8884  cxad 10466  cicc 10675  cxmt 16385 This theorem is referenced by:  stdbdxmet  18077 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-xmet 16389
 Copyright terms: Public domain W3C validator