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Theorem comet 18059
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comet.1 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 elfvdm 5554 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 elex 2796 . . 3  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  X  e.  _V )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
5 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR* )
6 xmetf 17894 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
71, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
8 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
10 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
11 xmetge0 17909 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
12 elxrge0 10747 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
a D b )  e.  RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
1310, 11, 12sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
14133expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
151, 14sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1615ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffnov 5948 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
189, 16, 17sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
19 fco 5398 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
205, 18, 19syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
21 opelxpi 4721 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
22 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
237, 21, 22syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
24 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
25 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2625fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2723, 24, 263eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2827eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
29 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
3029ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
3130adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3332eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
34 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3533, 34bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3635rspcv 2880 . . . 4  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
3715, 31, 36sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
38 xmeteq0 17903 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
39383expb 1152 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
401, 39sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4128, 37, 403bitrd 270 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
425adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] 
+oo ) --> RR* )
43153adantr3 1116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
44 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  (
a D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4618adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
47 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
48 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
49 fovrn 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
)  ->  ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
51 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
52 fovrn 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,]  +oo )  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5346, 47, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
54 ge0xaddcl 10750 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  (
c D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5550, 53, 54syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
56 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  (
( c D a ) + e ( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5742, 55, 56syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
58 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  (
c D a )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5942, 50, 58syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
60 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0 [,]  +oo ) --> RR*  /\  (
c D b )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
6142, 53, 60syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
6259, 61xaddcld 10621 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
63 3anrot 939 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
64 xmettri2 17905 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
6563, 64sylan2br 462 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
661, 65sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) )
67 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6867ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6968adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y
) ) )
70 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
7132breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
7270, 71imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
73 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
74 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
7574breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
7673, 75imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) ) )
7772, 76rspc2va 2891 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( ( c D a ) + e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) ) )
7843, 55, 69, 77syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) + e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) + e ( c D b ) ) ) ) )
7966, 78mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) ) )
80 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
8180ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  (
0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e y ) )  <_  ( ( F `  x ) + e ( F `  y ) ) )
8281adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `
 ( x + e y ) )  <_  ( ( F `
 x ) + e ( F `  y ) ) )
83 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
x + e y )  =  ( ( c D a ) + e y ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x + e y ) )  =  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) ) )
85 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
8685oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 y ) ) )
8784, 86breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x + e y ) )  <_  (
( F `  x
) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  y
) ) ) )
88 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) + e y )  =  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) + e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) ) )
90 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
9190oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
9289, 91breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) + e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) + e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
9387, 92rspc2va 2891 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,]  +oo ) A. y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ( F `  ( x + e
y ) )  <_ 
( ( F `  x ) + e
( F `  y
) ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
9450, 53, 82, 93syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) + e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
9545, 57, 62, 79, 94xrletrd 10493 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) + e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
96273adantr3 1116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
977adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
98 opelxpi 4721 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
9947, 48, 98syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
100 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
10197, 99, 100syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
102 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
103 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
104103fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
105101, 102, 1043eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
106 opelxpi 4721 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
10747, 51, 106syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
108 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
10997, 107, 108syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
110 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
111 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
112111fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
113109, 110, 1123eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
114105, 113oveq12d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) + e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) + e ( F `  ( c D b ) ) ) )
11595, 96, 1143brtr4d 4053 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) + e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1164, 20, 41, 115isxmetd 17891 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( * Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   + ecxad 10450   [,]cicc 10659   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  stdbdxmet  18061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-xmet 16373
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