Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfeq Structured version   Unicode version

Theorem comfeq 13934
 Description: Condition for two categories with the same hom-sets to have the same composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfeq.1 comp
comfeq.2 comp
comfeq.h
comfeq.3
comfeq.4
comfeq.5 f f
Assertion
Ref Expression
comfeq compf compf
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem comfeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6108 . . . . . 6
2 fvex 5744 . . . . . 6
31, 2mpt2ex 6427 . . . . 5
43rgen2w 2776 . . . 4
5 mpt22eqb 6181 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
7 vex 2961 . . . . . . . . 9
8 vex 2961 . . . . . . . . 9
97, 8op2ndd 6360 . . . . . . . 8
109oveq1d 6098 . . . . . . 7
11 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
12 df-ov 6086 . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . 8
14 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
1514oveqd 6100 . . . . . . . . 9
16 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
1716oveqd 6100 . . . . . . . . 9
1815, 17eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
1913, 18raleqbidv 2918 . . . . . . 7
2010, 19raleqbidv 2918 . . . . . 6
21 ovex 6108 . . . . . . . 8
2221rgen2w 2776 . . . . . . 7
23 mpt22eqb 6181 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 8 . . . . . 6
25 ralcom 2870 . . . . . 6
2620, 24, 253bitr4g 281 . . . . 5
2726ralbidv 2727 . . . 4
2827ralxp 5018 . . 3
296, 28bitri 242 . 2
30 comfeq.3 . . . . . 6
3130, 30xpeq12d 4905 . . . . 5
32 eqidd 2439 . . . . 5
3331, 30, 32mpt2eq123dv 6138 . . . 4
34 eqid 2438 . . . . 5 compf compf
35 eqid 2438 . . . . 5
36 comfeq.h . . . . 5
37 comfeq.1 . . . . 5 comp
3834, 35, 36, 37comfffval 13926 . . . 4 compf
3933, 38syl6eqr 2488 . . 3 compf
40 eqid 2438 . . . . . . . 8
41 comfeq.5 . . . . . . . . 9 f f
42413ad2ant1 979 . . . . . . . 8 f f
43 xp2nd 6379 . . . . . . . . . 10
44433ad2ant2 980 . . . . . . . . 9
45303ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
4644, 45eleqtrd 2514 . . . . . . . 8
47 simp3 960 . . . . . . . . 9
4847, 45eleqtrd 2514 . . . . . . . 8
4935, 36, 40, 42, 46, 48homfeqval 13925 . . . . . . 7
50 xp1st 6378 . . . . . . . . . . . 12
51503ad2ant2 980 . . . . . . . . . . 11
5251, 45eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10
5335, 36, 40, 42, 52, 46homfeqval 13925 . . . . . . . . 9
54 df-ov 6086 . . . . . . . . 9
55 df-ov 6086 . . . . . . . . 9
5653, 54, 553eqtr3g 2493 . . . . . . . 8
57 1st2nd2 6388 . . . . . . . . . 10
58573ad2ant2 980 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5734 . . . . . . . 8
6058fveq2d 5734 . . . . . . . 8
6156, 59, 603eqtr4d 2480 . . . . . . 7
62 eqidd 2439 . . . . . . 7
6349, 61, 62mpt2eq123dv 6138 . . . . . 6
6463mpt2eq3dva 6140 . . . . 5
65 comfeq.4 . . . . . . 7
6665, 65xpeq12d 4905 . . . . . 6
67 eqidd 2439 . . . . . 6
6866, 65, 67mpt2eq123dv 6138 . . . . 5
6964, 68eqtrd 2470 . . . 4
70 eqid 2438 . . . . 5 compf compf
71 eqid 2438 . . . . 5
72 comfeq.2 . . . . 5 comp
7370, 71, 40, 72comfffval 13926 . . . 4 compf
7469, 73syl6eqr 2488 . . 3 compf
7539, 74eqeq12d 2452 . 2 compf compf
7629, 75syl5rbbr 253 1 compf compf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  cop 3819   cxp 4878  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1st 6349  c2nd 6350  cbs 13471   chom 13542  compcco 13543   f chomf 13893  compfccomf 13894 This theorem is referenced by:  comfeqd  13935  2oppccomf  13953  oppccomfpropd  13955  resssetc  14249  resscatc  14262 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-homf 13897  df-comf 13898
 Copyright terms: Public domain W3C validator