Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concn Structured version   Unicode version

Theorem concn 17489
 Description: A continuous function from a connected topology with one point in a clopen set must lie entirely within the set. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
concn.x
concn.j
concn.f
concn.u
concn.c
concn.a
concn.1
Assertion
Ref Expression
concn

Proof of Theorem concn
StepHypRef Expression
1 concn.f . . . 4
2 concn.x . . . . 5
3 eqid 2436 . . . . 5
42, 3cnf 17310 . . . 4
51, 4syl 16 . . 3
6 ffn 5591 . . 3
75, 6syl 16 . 2
8 frn 5597 . . . 4
95, 8syl 16 . . 3
10 concn.j . . . 4
11 dffn4 5659 . . . . . 6
127, 11sylib 189 . . . . 5
13 cntop2 17305 . . . . . . . 8
141, 13syl 16 . . . . . . 7
153restuni 17226 . . . . . . 7 t
1614, 9, 15syl2anc 643 . . . . . 6 t
17 foeq3 5651 . . . . . 6 t t
1816, 17syl 16 . . . . 5 t
1912, 18mpbid 202 . . . 4 t
203toptopon 16998 . . . . . . 7 TopOn
2114, 20sylib 189 . . . . . 6 TopOn
22 ssid 3367 . . . . . . 7
2322a1i 11 . . . . . 6
24 cnrest2 17350 . . . . . 6 TopOn t
2521, 23, 9, 24syl3anc 1184 . . . . 5 t
261, 25mpbid 202 . . . 4 t
27 eqid 2436 . . . . 5 t t
2827cnconn 17485 . . . 4 t t t
2910, 19, 26, 28syl3anc 1184 . . 3 t
30 concn.u . . 3
31 concn.1 . . . 4
32 concn.a . . . . 5
33 fnfvelrn 5867 . . . . 5
347, 32, 33syl2anc 643 . . . 4
35 inelcm 3682 . . . 4
3631, 34, 35syl2anc 643 . . 3
37 concn.c . . 3
383, 9, 29, 30, 36, 37consubclo 17487 . 2
39 df-f 5458 . 2
407, 38, 39sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cuni 4015   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ccld 17080   ccn 17288  ccon 17474 This theorem is referenced by:  pconcon  24918  cvmliftmolem1  24968  cvmlift2lem9  24998  cvmlift3lem6  25011 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291  df-con 17475
 Copyright terms: Public domain W3C validator