MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompcld Unicode version

Theorem concompcld 17160
Description: The connected component containing  A is a closed set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompcld
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
3 concomp.2 . . . . . . 7  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
4 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
5 sspwuni 3987 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
64, 5mpbi 199 . . . . . . 7  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X
73, 6eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  S  C_  X
8 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
107, 9syl5sseq 3226 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1211clsss3 16796 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
132, 10, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
1413, 9sseqtr4d 3215 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  X )
1511sscls 16793 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
)
162, 10, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
173concompid 17157 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  S )
1816, 17sseldd 3181 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
19 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
207a1i 10 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  X )
213concompcon 17158 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
22 clscon 17156 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Con )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  Con )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  S )
)  e.  Con )
243concompss 17159 . . 3  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  S
) )  e.  Con )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
2514, 18, 23, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  S )
2611iscld4 16802 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
272, 10, 26syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  S
) )
2825, 27mpbird 223 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  concompclo  17161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-con 17138
  Copyright terms: Public domain W3C validator