Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompcld Structured version   Unicode version

Theorem concompcld 17499
 Description: The connected component containing is a closed set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2 t
Assertion
Ref Expression
concompcld TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem concompcld
StepHypRef Expression
1 topontop 16993 . . . . . 6 TopOn
21adantr 453 . . . . 5 TopOn
3 concomp.2 . . . . . . 7 t
4 ssrab2 3430 . . . . . . . 8 t
5 sspwuni 4178 . . . . . . . 8 t t
64, 5mpbi 201 . . . . . . 7 t
73, 6eqsstri 3380 . . . . . 6
8 toponuni 16994 . . . . . . 7 TopOn
98adantr 453 . . . . . 6 TopOn
107, 9syl5sseq 3398 . . . . 5 TopOn
11 eqid 2438 . . . . . 6
1211clsss3 17125 . . . . 5
132, 10, 12syl2anc 644 . . . 4 TopOn
1413, 9sseqtr4d 3387 . . 3 TopOn
1511sscls 17122 . . . . 5
162, 10, 15syl2anc 644 . . . 4 TopOn
173concompid 17496 . . . 4 TopOn
1816, 17sseldd 3351 . . 3 TopOn
19 simpl 445 . . . 4 TopOn TopOn
207a1i 11 . . . 4 TopOn
213concompcon 17497 . . . 4 TopOn t
22 clscon 17495 . . . 4 TopOn t t
2319, 20, 21, 22syl3anc 1185 . . 3 TopOn t
243concompss 17498 . . 3 t
2514, 18, 23, 24syl3anc 1185 . 2 TopOn
2611iscld4 17131 . . 3
272, 10, 26syl2anc 644 . 2 TopOn
2825, 27mpbird 225 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccld 17082  ccl 17084  ccon 17476 This theorem is referenced by:  concompclo  17500 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-con 17477
 Copyright terms: Public domain W3C validator