Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompclo Structured version   Unicode version

Theorem concompclo 17490
 Description: The connected component containing is a subset of any clopen set containing . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2 t
Assertion
Ref Expression
concompclo TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem concompclo
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2
2 simp1 957 . . . 4 TopOn TopOn
3 inss1 3553 . . . . . . 7
4 simp2 958 . . . . . . 7 TopOn
53, 4sseldi 3338 . . . . . 6 TopOn
6 toponss 16986 . . . . . 6 TopOn
72, 5, 6syl2anc 643 . . . . 5 TopOn
8 simp3 959 . . . . 5 TopOn
97, 8sseldd 3341 . . . 4 TopOn
10 concomp.2 . . . . 5 t
1110concompcld 17489 . . . 4 TopOn
122, 9, 11syl2anc 643 . . 3 TopOn
131cldss 17085 . . 3
1412, 13syl 16 . 2 TopOn
1510concompcon 17487 . . 3 TopOn t
162, 9, 15syl2anc 643 . 2 TopOn t
1710concompid 17486 . . . 4 TopOn
182, 9, 17syl2anc 643 . . 3 TopOn
19 inelcm 3674 . . 3
208, 18, 19syl2anc 643 . 2 TopOn
21 inss2 3554 . . 3
2221, 4sseldi 3338 . 2 TopOn
231, 14, 16, 5, 20, 22consubclo 17479 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  TopOnctopon 16951  ccld 17072  ccon 17466 This theorem is referenced by:  tgpconcompss  18135 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-con 17467
 Copyright terms: Public domain W3C validator