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Theorem concompcon 17416
Description: The connected component containing  A is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
concompcon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem concompcon
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 concomp.2 . . . 4  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 uniiun 4085 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U_ y  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
31, 2eqtri 2407 . . 3  |-  S  = 
U_ y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y
43oveq2i 6031 . 2  |-  ( Jt  S )  =  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )
5 simpl 444 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
7 eleq2 2448 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
98eleq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
107, 9anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1110elrab 3035 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  <->  ( y  e. 
~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) ) )
126, 11sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  (
y  e.  ~P X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
1312simpld 446 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  e.  ~P X )
1413elpwid 3751 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  y  C_  X )
1512simprd 450 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con ) )
1615simpld 446 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  A  e.  y )
1715simprd 450 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
185, 14, 16, 17iuncon 17412 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  U_ y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y )  e. 
Con )
194, 18syl5eqel 2471 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   U_ciun 4035   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575  TopOnctopon 16882   Conccon 17395
This theorem is referenced by:  concompcld  17418  concompclo  17419  tgpconcompeqg  18062  tgpconcomp  18063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cld 17006  df-con 17396
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