Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompcon Unicode version

Theorem concompcon 17174
 Description: The connected component containing is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2 t
Assertion
Ref Expression
concompcon TopOn t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem concompcon
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 concomp.2 . . . 4 t
2 uniiun 3971 . . . 4 t t
31, 2eqtri 2316 . . 3 t
43oveq2i 5885 . 2 t t t
5 simpl 443 . . 3 TopOn TopOn
6 simpr 447 . . . . . 6 TopOn t t
7 eleq2 2357 . . . . . . . 8
8 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 t t
98eleq1d 2362 . . . . . . . 8 t t
107, 9anbi12d 691 . . . . . . 7 t t
1110elrab 2936 . . . . . 6 t t
126, 11sylib 188 . . . . 5 TopOn t t
1312simpld 445 . . . 4 TopOn t
14 elpwi 3646 . . . 4
1513, 14syl 15 . . 3 TopOn t
1612simprd 449 . . . 4 TopOn t t
1716simpld 445 . . 3 TopOn t
1816simprd 449 . . 3 TopOn t t
195, 15, 17, 18iuncon 17170 . 2 TopOn t t
204, 19syl5eqel 2380 1 TopOn t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  crab 2560   wss 3165  cpw 3638  cuni 3843  ciun 3921  cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  TopOnctopon 16648  ccon 17153 This theorem is referenced by:  concompcld  17176  concompclo  17177  tgpconcompeqg  17810  tgpconcomp  17811 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-con 17154
 Copyright terms: Public domain W3C validator