Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  concompss Structured version   Unicode version

Theorem concompss 17497
 Description: The connected component containing is a superset of any other connected set containing . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
concomp.2 t
Assertion
Ref Expression
concompss t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem concompss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5 t
2 contop 17481 . . . . . . 7 t t
323ad2ant3 981 . . . . . 6 t t
4 restrcl 17222 . . . . . . 7 t
54simprd 451 . . . . . 6 t
6 elpwg 3807 . . . . . 6
73, 5, 63syl 19 . . . . 5 t
81, 7mpbird 225 . . . 4 t
9 3simpc 957 . . . 4 t t
10 eleq2 2498 . . . . . 6
11 oveq2 6090 . . . . . . 7 t t
1211eleq1d 2503 . . . . . 6 t t
1310, 12anbi12d 693 . . . . 5 t t
14 eleq2 2498 . . . . . . 7
15 oveq2 6090 . . . . . . . 8 t t
1615eleq1d 2503 . . . . . . 7 t t
1714, 16anbi12d 693 . . . . . 6 t t
1817cbvrabv 2956 . . . . 5 t t
1913, 18elrab2 3095 . . . 4 t t
208, 9, 19sylanbrc 647 . . 3 t t
21 elssuni 4044 . . 3 t t
2220, 21syl 16 . 2 t t
23 concomp.2 . 2 t
2422, 23syl6sseqr 3396 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  crab 2710  cvv 2957   wss 3321  cpw 3800  cuni 4016  (class class class)co 6082   ↾t crest 13649  ctop 16959  ccon 17475 This theorem is referenced by:  concompcld  17498  tgpconcompeqg  18142  tgpconcomp  18143 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-rest 13651  df-top 16964  df-con 17476
 Copyright terms: Public domain W3C validator